Potências, inversa e raízes quadradas por diagonalização

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\cardid{ex-5445}
\cardtipo{exemplo}
\cardtitulo{Potências, inversa e raízes quadradas por diagonalização}
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\cardautor{}

\cardrequer{prop-funcoes, ex-2x2}
\cardrequerdem{}
\cardveja{prop-comuta, ex-fib}

\begin{cartao}

$A = \left(\begin{smallmatrix}5&4\\
4&5\end{smallmatrix}\right)$: $p_A = (5-\lambda)^2-16 = (\lambda-9)(\lambda-1)$,
$V_9 = [(1,1)]$, $V_1 = [(1,-1)]$. Com
\[P = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix}9&0\\0&1\end{pmatrix},\quad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}:\]
\begin{itemize}[leftmargin=1.6em,itemsep=0.2em,topsep=0.3em]
\item $A^{100} = PD^{100}P^{-1} = \dfrac12\begin{pmatrix}9^{100}+1&9^{100}-1\\
9^{100}-1&9^{100}+1\end{pmatrix}$.
\item $A^{-1} = PD^{-1}P^{-1} = \dfrac19\begin{pmatrix}5&-4\\-4&5\end{pmatrix}$ (confira:
$AA^{-1} = I$).
\item Uma raiz quadrada: $B = P\,\mathrm{diag}(3,1)\,P^{-1} = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$,
e de fato $B^2 = A$. É a matriz do \vejacard{ex-2x2}.
\end{itemize}
\emph{Quantas raízes quadradas $A$ tem?} Se $B^2 = A$, então $BA = B^3 = AB$, e $B$ preserva os
autoespaços de $A$ (\vejacard{prop-comuta}); como eles têm dimensão $1$, $B$ é diagonal na
base $P$, com $B = P\,\mathrm{diag}(\pm3,\pm1)\,P^{-1}$. São exatamente quatro.

\noindent Na fórmula de $A^{100}$, o termo $9^{100}$ domina: $A^{100}$ é
praticamente $\frac{9^{100}}{2}\left(\begin{smallmatrix}1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)$, uma
matriz de posto $1$ que projeta sobre $V_9$. É o fenômeno do autovalor dominante, que
reaparece no \vejacard{ex-fib}.

\end{cartao}