Critério de diagonalização
Sejam \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) os autovalores distintos de \(T\), com \(\dim V = n\). São equivalentes:
\(T\) é diagonalizável;
\(V\) tem uma base formada por autovetores de \(T\);
\(V = V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}\);
\(\dim V_{\lambda_1}+\cdots+\dim V_{\lambda_k} = n\).
Demonstração
(a)\(\iff\)(b): \([T]_B = \mathrm{diag}(c_1,\ldots,c_n)\) significa \(T(v_j) = c_jv_j\) para cada \(j\) (Nota 3.18), isto é, cada \(v_j\) é autovetor.
(b)\(\Rightarrow\)(d): cada vetor da base está em algum \(V_{\lambda_i}\), e os que estão em \(V_{\lambda_i}\) são LI; logo \(\dim V_{\lambda_i}\geq\) número deles, e somando, \(\sum_i\dim V_{\lambda_i}\geq n\). A soma dos autoespaços é direta (Corolário 8.16), logo tem dimensão \(\sum_i\dim V_{\lambda_i}\leq n\).
(d)\(\Rightarrow\)(c): a soma é direta, e sua dimensão é \(n\); um subespaço de dimensão \(n\) é \(V\) (Corolário 2.82).
(c)\(\Rightarrow\)(b): junte bases dos \(V_{\lambda_i}\); numa soma direta, a junção de bases é base (Corolário 2.86).
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\cardtitulo{Critério de diagonalização}
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\cardrequer{def-diag, def-auto, def-direta}
\cardrequerdem{nota-diag, cor-n, cor-sub, cor-direta}
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\begin{cartao}
\emph{Sejam
$\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ os autovalores distintos de $T$, com $\dim V = n$. São
equivalentes:}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{$T$ é diagonalizável;}
\item \emph{$V$ tem uma base formada por autovetores de $T$;}
\item \emph{$V = V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}$;}
\item \emph{$\dim V_{\lambda_1}+\cdots+\dim V_{\lambda_k} = n$.}
\end{enumerate}
\begin{demonstracao}
(a)$\iff$(b): $[T]_B = \mathrm{diag}(c_1,\ldots,c_n)$ significa $T(v_j) = c_jv_j$ para cada
$j$ (\vejacard{nota-diag}), isto é, cada $v_j$ é autovetor.
(b)$\Rightarrow$(d): cada vetor da base está em algum $V_{\lambda_i}$, e os que estão em
$V_{\lambda_i}$ são LI; logo $\dim V_{\lambda_i}\geq$ número deles, e somando,
$\sum_i\dim V_{\lambda_i}\geq n$. A soma dos autoespaços é direta (\vejacard{cor-n}), logo tem
dimensão $\sum_i\dim V_{\lambda_i}\leq n$.
(d)$\Rightarrow$(c): a soma é direta, e sua dimensão é $n$; um subespaço de dimensão $n$
é $V$ (\vejacard{cor-sub}).
(c)$\Rightarrow$(b): junte bases dos $V_{\lambda_i}$; numa soma direta, a junção de bases
é base (\vejacard{cor-direta}).
\end{demonstracao}
\end{cartao}