Diagonalizável: raízes reais e \(\mathrm{mg} = \mathrm{ma}\)
\(T\) é diagonalizável se e somente se \(p_T\) se fatora em fatores lineares reais e \(\mathrm{mg}(\lambda_i) = \mathrm{ma}(\lambda_i)\) para todo autovalor.
Demonstração
Se \(p_T = \pm\prod_i(\lambda-\lambda_i)^{m_i}\), então \(\sum_im_i = n\), e \(\sum_i\dim V_{\lambda_i}\leq\sum_im_i = n\) com igualdade se e somente se cada \(\dim V_{\lambda_i} = m_i\). Se \(p_T\) não se fatora sobre \(\R\), \(\sum_im_i<n\) e o Teorema 8.23(d) falha.
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\cardtitulo{Diagonalizável: raízes reais e $\mathrm{mg} = \mathrm{ma}$}
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\cardrequer{def-diag, def-mult}
\cardrequerdem{thm-crit, prop-mult}
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\begin{cartao}
$T$ é diagonalizável se e somente se $p_T$ se
fatora em fatores lineares reais e $\mathrm{mg}(\lambda_i) = \mathrm{ma}(\lambda_i)$ para todo
autovalor.
\begin{demonstracao}
Se $p_T = \pm\prod_i(\lambda-\lambda_i)^{m_i}$, então $\sum_im_i = n$, e
$\sum_i\dim V_{\lambda_i}\leq\sum_im_i = n$ com igualdade se e somente se cada
$\dim V_{\lambda_i} = m_i$. Se $p_T$ não se fatora sobre $\R$, $\sum_im_i<n$ e o
\vejacard{thm-crit}(d) falha.
\end{demonstracao}
\end{cartao}