No máximo \(n\) autovalores; a soma dos autoespaços é direta
Um operador em dimensão \(n\) tem no máximo \(n\) autovalores distintos, e a soma \(V_{\lambda_1}+\cdots+V_{\lambda_k}\) dos autoespaços é direta.
Demonstração
A primeira afirmação é o teorema com o lema da troca (Lema 2.53). Para a segunda, se \(w_1+\cdots+w_k = 0\) com \(w_i\in V_{\lambda_i}\), os \(w_i\) não nulos seriam autovetores de autovalores distintos com soma zero, contra o teorema; logo todos são nulos, que é a forma (c) da soma direta (Proposição 2.25 e Nota 2.32).
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\cardtitulo{No máximo $n$ autovalores; a soma dos autoespaços é direta}
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\begin{cartao}
Um operador em dimensão $n$ tem no máximo $n$ autovalores
distintos, e a soma $V_{\lambda_1}+\cdots+V_{\lambda_k}$ dos autoespaços é direta.
\begin{demonstracao}
A primeira afirmação é o teorema com o lema da troca (\vejacard{lem-troca}). Para a segunda, se
$w_1+\cdots+w_k = 0$ com $w_i\in V_{\lambda_i}$, os $w_i$ não nulos seriam autovetores de
autovalores distintos com soma zero, contra o teorema; logo todos são nulos, que é a forma (c)
da soma direta (\vejacard{prop-direta} e \vejacard{nota-tres}).
\end{demonstracao}
\end{cartao}