Operador induzido no quociente e matriz em blocos
Seja \(T:V\to V\) linear com \(T(S)\subset S\). Então existe um único operador \(\bar T:V/S\to V/S\) com \(\bar T\circ\pi = \pi\circ T\), a saber \(\bar T(v+S) = T(v)+S\). Se \((v_1,\ldots,v_k)\) é base de \(S\) e \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) a completa, então \[[T]_B = \begin{pmatrix}A&\ast\\0&C\end{pmatrix},\qquad A = [T|_S]_{(v_1,\ldots,v_k)},\quad C = [\bar T]_{(\bar v_{k+1},\ldots,\bar v_n)}.\]
A matriz de \(T\) numa base adaptada a um subespaço invariante. O quociente é o que dá sentido intrínseco ao bloco de baixo: ele não depende de como se completou a base de \(S\), a menos de mudança de base em \(V/S\).
Pelo determinante de matriz triangular por blocos (Proposição 4.28), \(\det(T-\lambda I) = \det(A-\lambda I)\det(C-\lambda I)\). Isto é, o polinômio característico de \(T\) (Definição 8.10) é o produto do de \(T|_S\) pelo de \(\bar T\). Exemplo mínimo: \(T(x,y) = (x+y,y)\) em \(\R^2\) com \(S\) o eixo \(x\): \([T] = \left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\), \(T|_S = 1\) e \(\bar T = 1\).
Demonstração
\(\pi\circ T:V\to V/S\) mata \(S\), porque \(T(S)\subset S = N(\pi)\); o Teorema 5.46 dá \(\bar T\). Para a matriz: para \(j\leq k\), \(T(v_j)\in S\) é combinação de \(v_1,\ldots,v_k\) só, o que dá o bloco \(A\) e o zero embaixo dele. Para \(j>k\), escreva \(T(v_j) = \sum_{i\leq k}b_{ij}v_i+\sum_{i>k}c_{ij}v_i\) e aplique \(\pi\): \(\bar T(\bar v_j) = \sum_{i>k}c_{ij}\bar v_i\), que é a coluna de \(C\).
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\cardtitulo{Operador induzido no quociente e matriz em blocos}
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\cardrequer{prop-oper, def-matriz}
\cardrequerdem{thm-univ, prop-dimq}
\cardveja{prop-determinante-por-blocos, def-pcar, prop-matriz-em-blocos-de-invariante}
\begin{cartao}
\emph{Seja $T:V\to V$ linear com $T(S)\subset S$. Então
existe um único operador $\bar T:V/S\to V/S$ com $\bar T\circ\pi = \pi\circ T$, a saber
$\bar T(v+S) = T(v)+S$. Se $(v_1,\ldots,v_k)$ é base de $S$ e $B = (v_1,\ldots,v_n)$ a
completa, então}
\[[T]_B = \begin{pmatrix}A&\ast\\0&C\end{pmatrix},\qquad A = [T|_S]_{(v_1,\ldots,v_k)},\quad
C = [\bar T]_{(\bar v_{k+1},\ldots,\bar v_n)}.\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\draw[line width=0.9pt] (0.15,-0.05)--(-0.1,-0.05)--(-0.1,3.05)--(0.15,3.05);
\draw[line width=0.9pt] (2.85,-0.05)--(3.1,-0.05)--(3.1,3.05)--(2.85,3.05);
\fill[Fverde!18] (0,1.6) rectangle (1.4,3.0);
\fill[Fcinza!12] (1.6,1.6) rectangle (3.0,3.0);
\fill[Fazul!14] (1.6,0) rectangle (3.0,1.4);
\node[cx,Fverde] at (0.7,2.3) {$[T|_S]$};
\node[cx,Fcinza] at (2.3,2.3) {$\ast$};
\node[cx] at (0.7,0.7) {$0$};
\node[cx,Fazul] at (2.3,0.7) {$[\bar T]$};
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt},line width=0.6pt] (0,3.15)--(1.4,3.15);
\node[cxs,anchor=south] at (0.7,3.3) {base de $S$};
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt},line width=0.6pt] (1.6,3.15)--(3.0,3.15);
\node[cxs,anchor=south] at (2.3,3.3) {o resto};
\node[cx,anchor=west,align=left] at (3.8,1.5)
{\emph{o bloco nulo diz que $S$ é invariante;}\\ \emph{o bloco verde é $T$ dentro de $S$;}\\
\emph{o bloco azul é $T$ módulo $S$.}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape A matriz de $T$ numa base adaptada a um subespaço invariante. O
quociente é o que dá sentido intrínseco ao bloco de baixo: ele não depende de como se
completou a base de $S$, a menos de mudança de base em $V/S$.\par}
\noindent Pelo determinante de matriz triangular por blocos (\vejacard{prop-determinante-por-blocos}),
$\det(T-\lambda I) = \det(A-\lambda I)\det(C-\lambda I)$. Isto é, o polinômio
característico de $T$ (\vejacard{def-pcar}) é o produto do de $T|_S$ pelo de $\bar T$.
Exemplo mínimo: $T(x,y) = (x+y,y)$ em $\R^2$ com $S$ o eixo $x$:
$[T] = \left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)$, $T|_S = 1$ e
$\bar T = 1$.
\begin{demonstracao}
$\pi\circ T:V\to V/S$ mata $S$, porque $T(S)\subset S = N(\pi)$; o \vejacard{thm-univ} dá
$\bar T$. Para a matriz: para $j\leq k$, $T(v_j)\in S$ é combinação de $v_1,\ldots,v_k$ só, o
que dá o bloco $A$ e o zero embaixo dele. Para $j>k$, escreva
$T(v_j) = \sum_{i\leq k}b_{ij}v_i+\sum_{i>k}c_{ij}v_i$ e aplique $\pi$:
$\bar T(\bar v_j) = \sum_{i>k}c_{ij}\bar v_i$, que é a coluna de $C$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}