Dimensão de um subespaço
Seja \(\dim V = n\) e \(S\subset V\) um subespaço. Então \(S\) tem dimensão finita, \(\dim S\leq n\), e vale \(\dim S = n\) se e somente se \(S = V\).
Demonstração
Todo conjunto LI contido em \(S\) é, em particular, LI em \(V\), logo tem no máximo \(n\) elementos pelo Corolário 2.81(a). Escolha então em \(S\) um conjunto LI \((u_1,\ldots,u_k)\) com \(k\) máximo (possível, porque \(k\leq n\)). Ele gera \(S\): se existisse \(u\in S\) fora de \([u_1,\ldots,u_k]\), o conjunto \((u_1,\ldots,u_k,u)\) seria LI — pelo mesmo argumento da demonstração do Teorema 2.79 — contrariando a maximalidade de \(k\). Logo \((u_1,\ldots,u_k)\) é base de \(S\) e \(\dim S = k\leq n\).
Se \(k = n\), então \((u_1,\ldots,u_n)\) são \(n\) vetores LI em \(V\), logo base de \(V\) pelo Corolário 2.81(b); portanto \(V = [u_1,\ldots,u_n]\subset S\), isto é, \(S=V\). A recíproca é imediata.
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\begin{cartao}
Seja $\dim V = n$ e $S\subset V$ um subespaço. Então $S$ tem
dimensão finita, $\dim S\leq n$, e vale $\dim S = n$ se e somente se $S = V$.
\begin{demonstracao}
Todo conjunto LI contido em $S$ é, em particular, LI em $V$, logo tem no máximo $n$
elementos pelo \vejacard{cor-npontos}(a). Escolha então em $S$ um conjunto LI
$(u_1,\ldots,u_k)$ com $k$ \emph{máximo} (possível, porque $k\leq n$). Ele gera $S$: se
existisse $u\in S$ fora de $[u_1,\ldots,u_k]$, o conjunto $(u_1,\ldots,u_k,u)$ seria LI ---
pelo mesmo argumento da demonstração do \vejacard{thm-compl} --- contrariando a maximalidade de $k$.
Logo $(u_1,\ldots,u_k)$ é base de $S$ e $\dim S = k\leq n$.
Se $k = n$, então $(u_1,\ldots,u_n)$ são $n$ vetores LI em $V$, logo base de $V$ pelo
\vejacard{cor-npontos}(b); portanto $V = [u_1,\ldots,u_n]\subset S$, isto é, $S=V$. A recíproca é
imediata.
\end{demonstracao}
\end{cartao}