Um operador diagonalizável estica cada eixo próprio
Um operador diagonalizável estica (ou encolhe) cada eixo próprio por um fator, independentemente dos outros. O círculo vira uma elipse com os eixos nas direções dos autovetores. O desenho é o de \(B = \left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right)\) (fatores \(3\) e \(1\), Exemplo 8.12); \(A = B^2\) tem os mesmos eixos e fatores \(9\) e \(1\) (Exemplo 8.33).
É o que dá sentido à palavra “diagonal”: nas coordenadas dadas pelos dois eixos coloridos, \(A\) multiplica a primeira coordenada por \(9\) e a segunda por \(1\), sem misturar.
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\cardtipo{nota}
\cardtitulo{Um operador diagonalizável estica cada eixo próprio}
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\cardrequer{thm-crit, ex-2x2}
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\cardveja{ex-5445}
\begin{cartao}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
\begin{scope}
\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.1,2.1);
\foreach \cc in {-3,...,3}{
\draw[Fcinza!40,line width=0.4pt] ({0.5*\cc-3},{0.5*\cc+3})--({0.5*\cc+3},{0.5*\cc-3});
\draw[Fcinza!40,line width=0.4pt] ({0.5*\cc-3},{-0.5*\cc-3})--({0.5*\cc+3},{-0.5*\cc+3});}
\end{scope}
\draw[Fverde,line width=1.3pt] (-2,-2)--(2,2);
\draw[Flaranja,line width=1.3pt] (-2,2)--(2,-2);
\draw[Fazul,line width=1pt] (0,0) circle (0.6);
\node[cx] at (0,-2.6) {$\R^2$ e o círculo};
\end{scope}
\draw[fseta] (2.5,0)--(3.7,0) node[midway,above,cxs] {$A$};
\begin{scope}[shift={(7.2,0)}]
\draw[Fverde,line width=1.3pt] (-2.9,-2.9)--(2.9,2.9);
\draw[Flaranja,line width=1.3pt] (-1.2,1.2)--(1.2,-1.2);
\draw[Fazul,line width=1pt,rotate=45] (0,0) ellipse ({0.6*3} and {0.6*1});
\node[cxs,Fverde,anchor=west] at (2.0,1.7) {$\times3$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=west] at (0.6,-1.1) {$\times1$};
\node[cx] at (0,-3.1) {$A = \begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ ou $B = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent Um operador diagonalizável estica (ou encolhe) cada eixo próprio por
um fator, independentemente dos outros. O círculo vira uma elipse com os eixos nas direções
dos autovetores. O desenho é o de $B = \left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right)$
(fatores $3$ e $1$, \vejacard{ex-2x2}); $A = B^2$ tem os mesmos eixos e fatores $9$ e $1$
(\vejacard{ex-5445}).
\noindent É o que dá sentido à palavra ``diagonal'': nas coordenadas dadas
pelos dois eixos coloridos, $A$ multiplica a primeira coordenada por $9$ e a segunda por $1$,
sem misturar.
\end{cartao}