Matrizes semelhantes representam o mesmo operador
Duas matrizes representam o mesmo operador \(T:V\to V\) em bases diferentes se e somente se são semelhantes.
Demonstração
Uma direção é o Teorema 3.14. Reciprocamente, se \(A' = P^{-1}AP\) e \(A = [T]_{BB}\), seja \(B'\) a base cujos vetores têm por coordenadas em \(B\) as colunas de \(P\); ela é base porque \(P\) é invertível (Corolário 3.10), e por construção \([I]_{BB'} = P\), donde \([T]_{B'B'} = A'\).
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\begin{cartao}
Duas matrizes representam o mesmo operador
$T:V\to V$ em bases diferentes se e somente se são semelhantes.
\begin{demonstracao}
Uma direção é o \vejacard{thm-conj}. Reciprocamente, se $A' = P^{-1}AP$ e $A = [T]_{BB}$,
seja $B'$ a base cujos vetores têm por coordenadas em $B$ as colunas de $P$; ela é base
porque $P$ é invertível (\vejacard{cor-inv}), e por construção $[I]_{BB'} = P$, donde
$[T]_{B'B'} = A'$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}