Operadores que comutam
Sejam \(S,T:V\to V\) com \(ST = TS\).
Cada autoespaço de \(T\) é invariante por \(S\).
Se \(S\) e \(T\) são diagonalizáveis, existe uma base de autovetores comuns.
A diagonalização simultânea. Porque \(S\) preserva cada autoespaço de \(T\), a decomposição de \(V\) segundo \(S\) refina a decomposição segundo \(T\), e o resultado é um quadriculado de pedaços em que os dois operadores são escalares.
Demonstração
(a) Se \(Tv = \lambda v\), então \(T(Sv) = S(Tv) = \lambda Sv\).
(b) Sejam \(\mu_1,\ldots,\mu_l\) os autovalores de \(S\), e \(V = \bigoplus_jV_{\mu_j}(S)\). Fixe um autovalor \(\lambda\) de \(T\) e \(v\in V_\lambda(T)\); escreva \(v = \sum_jw_j\) com \(w_j\in V_{\mu_j}(S)\). Por (a), com os papéis trocados, \(T\) preserva cada \(V_{\mu_j}(S)\); logo \[0 = (T-\lambda I)v = \sum_j(T-\lambda I)w_j,\qquad (T-\lambda I)w_j\in V_{\mu_j}(S).\] Como a soma é direta, cada \((T-\lambda I)w_j = 0\): os \(w_j\) estão em \(V_\lambda(T)\cap V_{\mu_j}(S)\). Portanto \(V_\lambda(T) = \bigoplus_j\big(V_\lambda(T)\cap V_{\mu_j}(S)\big)\). Juntando bases desses pedaços, para todos os \(\lambda\), obtém-se uma base de \(V\) formada por vetores que são autovetores de \(T\) e de \(S\) ao mesmo tempo.
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{prop-comuta}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Operadores que comutam}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-inv, def-auto, def-diag}
\cardrequerdem{thm-crit}
\cardveja{}
\begin{cartao}
\emph{Sejam $S,T:V\to V$
com $ST = TS$.}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{Cada autoespaço de $T$ é invariante por $S$.}
\item \emph{Se $S$ e $T$ são diagonalizáveis, existe uma base de autovetores comuns.}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\draw[line width=0.9pt] (0,0) rectangle (6,2.4);
\draw[Fverde,line width=1pt] (2.2,0)--(2.2,2.4);
\draw[Fverde,line width=1pt] (4.3,0)--(4.3,2.4);
\node[cxs,Fverde,anchor=south] at (1.1,2.45) {$V_{\lambda_1}(T)$};
\node[cxs,Fverde,anchor=south] at (3.25,2.45) {$V_{\lambda_2}(T)$};
\node[cxs,Fverde,anchor=south] at (5.15,2.45) {$V_{\lambda_3}(T)$};
\draw[Frosa,line width=0.8pt,dashed] (0,1.2)--(2.2,1.2);
\draw[Frosa,line width=0.8pt,dashed] (2.2,0.8)--(4.3,0.8);
\draw[Frosa,line width=0.8pt,dashed] (2.2,1.6)--(4.3,1.6);
\node[cxs,Frosa] at (1.1,0.6) {$\mu_1$}; \node[cxs,Frosa] at (1.1,1.8) {$\mu_2$};
\node[cxs,Frosa] at (3.25,0.4) {$\mu_1$}; \node[cxs,Frosa] at (3.25,1.2) {$\mu_2$};
\node[cxs,Frosa] at (3.25,2.0) {$\mu_3$};
\node[cxs,Frosa] at (5.15,1.2) {$\mu_2$};
\node[cx,anchor=west,align=left] at (6.5,1.2)
{\emph{$V$ se parte nos autoespaços de $T$ (verde);}\\
\emph{cada um deles se parte nos de $S$ (rosa);}\\
\emph{em cada caixinha, $T = \lambda_i$ e $S = \mu_j$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape A diagonalização simultânea. Porque $S$ preserva cada autoespaço de
$T$, a decomposição de $V$ segundo $S$ refina a decomposição segundo $T$, e o resultado é um
quadriculado de pedaços em que os dois operadores são escalares.\par}
\begin{demonstracao}
(a) Se $Tv = \lambda v$, então $T(Sv) = S(Tv) = \lambda Sv$.
(b) Sejam $\mu_1,\ldots,\mu_l$ os autovalores de $S$, e $V = \bigoplus_jV_{\mu_j}(S)$. Fixe um
autovalor $\lambda$ de $T$ e $v\in V_\lambda(T)$; escreva $v = \sum_jw_j$ com
$w_j\in V_{\mu_j}(S)$. Por (a), com os papéis trocados, $T$ preserva cada $V_{\mu_j}(S)$; logo
\[0 = (T-\lambda I)v = \sum_j(T-\lambda I)w_j,\qquad (T-\lambda I)w_j\in V_{\mu_j}(S).\]
Como a soma é direta, cada $(T-\lambda I)w_j = 0$: os $w_j$ estão em
$V_\lambda(T)\cap V_{\mu_j}(S)$. Portanto
$V_\lambda(T) = \bigoplus_j\big(V_\lambda(T)\cap V_{\mu_j}(S)\big)$. Juntando bases desses
pedaços, para todos os $\lambda$, obtém-se uma base de $V$ formada por vetores que são
autovetores de $T$ e de $S$ ao mesmo tempo.
\end{demonstracao}
\end{cartao}