Potências de uma matriz diagonalizável
Se \(A = PDP^{-1}\) com \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), então \(A^k = PD^kP^{-1}\) para todo \(k\geq0\), e \(D^k = \mathrm{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)\). Se todos os \(\lambda_i\neq0\), isso vale também para \(k<0\).
O desvio do Teorema 3.14, agora com propósito: para calcular \(A^k\), passe às coordenadas em que \(A\) é diagonal, eleve \(n\) números à potência \(k\), e volte.
Demonstração
Temos \(A^2 = PDP^{-1}PDP^{-1} = PD^2P^{-1}\), e o resto é indução. Para \(k = -1\), basta ver que \((PDP^{-1})(PD^{-1}P^{-1}) = I\).
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\cardtitulo{Potências de uma matriz diagonalizável}
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\cardrequer{def-diag}
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\cardveja{thm-conj}
\begin{cartao}
\emph{Se $A = PDP^{-1}$ com
$D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, então $A^k = PD^kP^{-1}$ para todo $k\geq0$, e
$D^k = \mathrm{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)$. Se todos os $\lambda_i\neq0$, isso vale
também para $k<0$.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[cx] (a) at (0,2.0) {$\R^n$};
\node[cx] (b) at (4.2,2.0) {$\R^n$};
\node[cx] (c) at (4.2,0) {$\R^n$};
\node[cx] (d) at (0,0) {$\R^n$};
\draw[fseta,Fverde] (a)--(b) node[midway,above,cxs] {$A^k$ \ \emph{(difícil)}};
\draw[fseta,Fazul] (a)--(d) node[midway,left,cxs] {$P^{-1}$: \emph{coordenadas próprias}};
\draw[fseta,Frosa] (d)--(c) node[midway,below,cxs] {$D^k$ \ \emph{(fácil: $\lambda_i^k$)}};
\draw[fseta,Fazul] (c)--(b) node[midway,right,cxs] {$P$: \emph{de volta}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O desvio do \vejacard{thm-conj}, agora com propósito: para calcular $A^k$, passe
às coordenadas em que $A$ é diagonal, eleve $n$ números à potência $k$, e volte.\par}
\begin{demonstracao}
Temos $A^2 = PDP^{-1}PDP^{-1} = PD^2P^{-1}$, e o resto é indução. Para $k = -1$,
basta ver que $(PDP^{-1})(PD^{-1}P^{-1}) = I$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}