Autovalores, autovetores e autoespaços

Reflexão numa reta \(\ell\) pela origem: \(\ell\) é o autoespaço de \(1\), e a perpendicular \(\ell^\perp\) é o de \(-1\).

Projeção sobre \(\ell\) ao longo de outra reta \(m\) (Proposição 2.33): autovalores \(1\) (em \(\ell\)) e \(0\) (em \(m\)).

Rotação de ângulo \(\theta\in(0,\pi)\): nenhuma reta é levada nela mesma; nenhum autovalor real.

Cisalhamento \(T(x,y) = (x+y,y)\): o eixo \(x\) é fixo (\(\lambda = 1\)), e nenhuma outra direção é preservada. Um só autoespaço, de dimensão \(1\).

Para \(A = \left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right)\): \(p_A(\lambda) = \lambda^2-4\lambda+3 = (\lambda-1)(\lambda-3)\).

• \(\lambda = 3\): \(A-3I = \left(\begin{smallmatrix}-1&1\\1&-1\end{smallmatrix}\right)\), \(V_3 = [(1,1)]\).

• \(\lambda = 1\): \(A-I = \left(\begin{smallmatrix}1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\), \(V_1 = [(1,-1)]\).

São as duas retas da figura da Motivação 8.3.

Para \[A = \begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix},\qquad \det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\0&3-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda),\] desenvolvendo pela terceira coluna. Os autoespaços, resolvendo \((A-\lambda I)X = 0\): \[V_1 = [(1,0,-2)],\qquad V_2 = [(0,0,1)],\qquad V_3 = [(1,1,-2)].\] Confira um: \(A(1,1,-2) = (3,3,-6)\).

O determinante sai com uma expansão só, porque a terceira coluna tem um único termo não nulo; em geral, o trabalho de calcular \(p_A\) é achar a expansão que fatora. Os três autovetores são LI (Teorema 8.15), logo formam uma base, e nela a matriz é \(\mathrm{diag}(1,2,3)\) (Definição 8.22).

Seja \(\Theta:\Mat{n}{n}\to\Mat{n}{n}\), \(\Theta(A) = A^t\). Como \(\Theta^2 = I\), os autovalores estão em \(\{1,-1\}\) (Corolário 8.18). E os dois ocorrem: \[V_1 = \{A: A^t = A\} = \Simet,\qquad V_{-1} = \{A: A^t = -A\} = \mathcal{A}.\] Como \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\) (Exemplo 2.28), existe uma base de autovetores de \(\Theta\): junte uma base de \(\Simet\) e uma de \(\mathcal{A}\). Nela, \[[\Theta] = \mathrm{diag}(\underbrace{1,\ldots,1}_{n(n+1)/2},\underbrace{-1,\ldots,-1}_{n(n-1)/2}),\] e daí, sem conta, \(\tr\Theta = n\) e \(\det\Theta = (-1)^{n(n-1)/2}\) — o valor obtido com esforço no Exemplo 4.30.

A decomposição em parte simétrica e antissimétrica é a diagonalização de \(\Theta\). O mesmo vale para funções pares e ímpares: são os autoespaços de \(f(x)\mapsto f(-x)\) (Nota 2.30).

Em \(\Pol{3}\), na base \((1,x,x^2,x^3)\):

• \(D(p) = p'\) tem matriz triangular com diagonal nula (Exemplo 3.4), logo \(p_D(\lambda) = \lambda^4\); o único autovalor é \(0\), com \(V_0 = \Nuc(D)\) = constantes, de dimensão \(1\). Não há base de autovetores. (Coerente: \(D^4 = 0\).)

• \(M(p) = xp'(x)\) satisfaz \(M(x^k) = kx^k\): a própria base é de autovetores, com autovalores \(0,1,2,3\), e \([M] = \mathrm{diag}(0,1,2,3)\).

Os dois operadores “derivam”; um tem uma base de autovetores e o outro, nenhuma.

A rotação. \(p(\lambda) = \lambda^2-2\cos\theta\,\lambda+1\), de discriminante \(4\cos^2\theta-4<0\) para \(\theta\notin\pi\mathbb{Z}\). Nenhum autovalor real: é o fenômeno da figura da Nota 8.14; veja o Teorema 8.50.