\(1\leq\mathrm{mg}\leq\mathrm{ma}\)
\(1\leq\mathrm{mg} (\lambda_0)\leq\mathrm{ma}(\lambda_0)\).
Por que \(\mathrm{mg}\leq\mathrm{ma}\). Numa base que começa pelo autoespaço, o bloco verde contribui \((\lambda_0-\lambda)^g\) ao polinômio característico. O bloco azul pode contribuir mais fatores \((\lambda_0-\lambda)\) — no exemplo \(\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\), \(C = (1)\) contribui um.
Demonstração
\(\mathrm{mg}\geq1\) porque \(\lambda_0\) é autovalor. Seja \(g = \dim V_{\lambda_0}\) e complete uma base de \(V_{\lambda_0}\) a uma base \(B\) de \(V\). Como \(V_{\lambda_0}\) é invariante e \(T\) age nele como \(\lambda_0I\), a matriz é triangular por blocos (Proposição 5.56): \[[T]_B = \begin{pmatrix}\lambda_0I_g&\ast\\0&C\end{pmatrix},\qquad p_T(\lambda) = (\lambda_0-\lambda)^g\,p_C(\lambda),\] pelo determinante de matriz triangular por blocos (Proposição 4.28). Logo \((\lambda-\lambda_0)^g\) divide \(p_T\), e \(\mathrm{ma}\geq g\).
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\cardtitulo{$1\leq\mathrm{mg}\leq\mathrm{ma}$}
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\cardrequerdem{thm-compl, prop-induz, prop-determinante-por-blocos}
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\begin{cartao}
$1\leq\mathrm{mg}
(\lambda_0)\leq\mathrm{ma}(\lambda_0)$.
\begin{demonstracao}
$\mathrm{mg}\geq1$ porque $\lambda_0$ é autovalor. Seja $g = \dim V_{\lambda_0}$ e complete uma
base de $V_{\lambda_0}$ a uma base $B$ de $V$. Como $V_{\lambda_0}$ é invariante e $T$ age nele
como $\lambda_0I$, a matriz é triangular por blocos (\vejacard{prop-induz}):
\[[T]_B = \begin{pmatrix}\lambda_0I_g&\ast\\0&C\end{pmatrix},\qquad
p_T(\lambda) = (\lambda_0-\lambda)^g\,p_C(\lambda),\]
pelo determinante de matriz triangular por blocos (\vejacard{prop-determinante-por-blocos}). Logo $(\lambda-\lambda_0)^g$ divide
$p_T$, e $\mathrm{ma}\geq g$.
\end{demonstracao}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\draw[line width=0.9pt] (0.15,-0.05)--(-0.1,-0.05)--(-0.1,3.05)--(0.15,3.05);
\draw[line width=0.9pt] (2.85,-0.05)--(3.1,-0.05)--(3.1,3.05)--(2.85,3.05);
\fill[Fverde!18] (0,1.6) rectangle (1.4,3.0);
\fill[Fcinza!12] (1.6,1.6) rectangle (3.0,3.0);
\fill[Fazul!14] (1.6,0) rectangle (3.0,1.4);
\node[cx,Fverde] at (0.7,2.3) {$\lambda_0I_g$};
\node[cx,Fcinza] at (2.3,2.3) {$\ast$};
\node[cx] at (0.7,0.7) {$0$};
\node[cx,Fazul] at (2.3,0.7) {$C$};
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt},line width=0.6pt] (0,3.15)--(1.4,3.15);
\node[cxs,anchor=south] at (0.7,3.3) {base de $V_{\lambda_0}$};
\node[cx,anchor=west,align=left] at (3.8,1.5)
{$p_T(\lambda) = (\lambda_0-\lambda)^g\,p_C(\lambda)$\\[0.3em]
\emph{$\lambda_0$ pode ainda ser raiz de $p_C$:}\\
\emph{é aí que $\mathrm{ma}$ passa de $\mathrm{mg}$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Por que $\mathrm{mg}\leq\mathrm{ma}$. Numa base que começa pelo
autoespaço, o bloco verde contribui $(\lambda_0-\lambda)^g$ ao polinômio característico. O
bloco azul pode contribuir mais fatores $(\lambda_0-\lambda)$ --- no exemplo
$\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)$, $C = (1)$ contribui um.\par}
\end{cartao}