Teorema de Cayley–Hamilton
Para todo operador \(T\) em dimensão finita, \(p_T(T) = 0\).
Demonstração
Primeiro sobre \(\Cx\). Pelo Teorema 8.54, há uma base com \([T]\) triangular superior, com diagonal \(\mu_1,\ldots,\mu_n\), e \(p_T(\lambda) = \prod_i(\mu_i-\lambda)\); logo \(p_T(T) = \pm(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_nI)\). Afirmamos que \[(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_jI)\ \text{anula}\ W_j\qquad(j = 1,\ldots,n).\] Para \(j = 1\): \(v_1\) é autovetor de \(\mu_1\). Suponha para \(j-1\). A coluna \(j\) da matriz diz que \(T(v_j) = \mu_jv_j+(\text{algo em }W_{j-1})\), isto é, \((T-\mu_jI)v_j\in W_{j-1}\); e \((T-\mu_jI)W_{j-1}\subset W_{j-1}\) porque \(W_{j-1}\) é invariante. Logo \((T-\mu_jI)W_j\subset W_{j-1}\). Como polinômios em \(T\) comutam, \[\begin{align*} (T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_jI)W_j &= (T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_{j-1}I)\big[(T-\mu_jI)W_j\big]\\ &\subset(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_{j-1}I)W_{j-1} = 0. \end{align*}\] Com \(j = n\), \(W_n = V\) e \(p_T(T) = 0\).
Caso real. Se \(A\) é uma matriz real, ela também é complexa, com o mesmo polinômio característico; a identidade \(p_A(A) = 0\) entre matrizes vale sobre \(\Cx\), e as entradas são reais.
A demonstração de Cayley–Hamilton como uma escada (\(n = 4\)). O fator \(T-\mu_jI\) leva \(W_j\) para dentro de \(W_{j-1}\), porque o último vetor da base de \(W_j\) é autovetor “módulo \(W_{j-1}\)”. Depois de todos os fatores, não sobra nada.
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\begin{cartao}
\emph{Para todo
operador $T$ em dimensão finita, $p_T(T) = 0$.}
\begin{demonstracao}
Primeiro sobre $\Cx$. Pelo \vejacard{thm-triang}, há uma base com $[T]$ triangular superior,
com diagonal $\mu_1,\ldots,\mu_n$, e $p_T(\lambda) = \prod_i(\mu_i-\lambda)$; logo
$p_T(T) = \pm(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_nI)$. Afirmamos que
\[(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_jI)\ \text{anula}\ W_j\qquad(j = 1,\ldots,n).\]
Para $j = 1$: $v_1$ é autovetor de $\mu_1$. Suponha para $j-1$. A coluna $j$ da matriz diz que
$T(v_j) = \mu_jv_j+(\text{algo em }W_{j-1})$, isto é, $(T-\mu_jI)v_j\in W_{j-1}$; e
$(T-\mu_jI)W_{j-1}\subset W_{j-1}$ porque $W_{j-1}$ é invariante. Logo
$(T-\mu_jI)W_j\subset W_{j-1}$. Como polinômios em $T$ comutam,
\begin{align*}
(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_jI)W_j &= (T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_{j-1}I)\big[(T-\mu_jI)W_j\big]\\
&\subset(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_{j-1}I)W_{j-1} = 0.
\end{align*}
Com $j = n$, $W_n = V$ e $p_T(T) = 0$.
\emph{Caso real.} Se $A$ é uma matriz real, ela também é complexa, com o mesmo polinômio
característico; a identidade $p_A(A) = 0$ entre matrizes vale sobre $\Cx$, e as entradas são
reais.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\foreach \jj/\xx in {4/0,3/2.6,2/5.2,1/7.8}{
\node[cx,Fverde] (w\jj) at (\xx,0) {$W_{\jj}$};}
\node[cx] (z) at (10.4,0) {$0$};
\draw[fseta] (w4)--(w3) node[midway,above,cxs] {$T-\mu_4I$};
\draw[fseta] (w3)--(w2) node[midway,above,cxs] {$T-\mu_3I$};
\draw[fseta] (w2)--(w1) node[midway,above,cxs] {$T-\mu_2I$};
\draw[fseta] (w1)--(z) node[midway,above,cxs] {$T-\mu_1I$};
\node[cxs,Fcinza,align=center] at (5.2,-0.8) {\emph{cada fator desce um degrau da bandeira;}\\
\emph{$n$ fatores levam $V = W_n$ a $0$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape A demonstração de Cayley--Hamilton como uma escada ($n = 4$). O fator
$T-\mu_jI$ leva $W_j$ para dentro de $W_{j-1}$, porque o último vetor da base de $W_j$ é
autovetor ``módulo $W_{j-1}$''. Depois de todos os fatores, não sobra nada.\par}
\end{demonstracao}
\end{cartao}