Autovalores e autoespaços de uma matriz \(3\times3\)
Para \[A = \begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix},\qquad \det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\0&3-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda),\] desenvolvendo pela terceira coluna. Os autoespaços, resolvendo \((A-\lambda I)X = 0\): \[V_1 = [(1,0,-2)],\qquad V_2 = [(0,0,1)],\qquad V_3 = [(1,1,-2)].\] Confira um: \(A(1,1,-2) = (3,3,-6)\).
O determinante sai com uma expansão só, porque a terceira coluna tem um único termo não nulo; em geral, o trabalho de calcular \(p_A\) é achar a expansão que fatora. Os três autovetores são LI (Teorema 8.15), logo formam uma base, e nela a matriz é \(\mathrm{diag}(1,2,3)\) (Definição 8.22).
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\cardtitulo{Autovalores e autoespaços de uma matriz $3\times3$}
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\cardrequer{prop-det, def-pcar, thm-laplace}
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\cardveja{thm-li, def-diag}
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Para
\[A = \begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix},\qquad
\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\0&3-\lambda\end{pmatrix}
= (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda),\]
desenvolvendo pela terceira coluna. Os autoespaços, resolvendo $(A-\lambda I)X = 0$:
\[V_1 = [(1,0,-2)],\qquad V_2 = [(0,0,1)],\qquad V_3 = [(1,1,-2)].\]
Confira um: $A(1,1,-2) = (3,3,-6)$.
\noindent O determinante sai com uma expansão só, porque a terceira coluna tem um único termo
não nulo; em geral, o trabalho de calcular $p_A$ é achar a expansão que fatora. Os três
autovetores são LI (\vejacard{thm-li}), logo formam uma base, e nela a matriz é
$\mathrm{diag}(1,2,3)$ (\vejacard{def-diag}).
\end{cartao}