Determinante de uma matriz triangular
Se \(A\) é triangular (superior ou inferior), então \(\det A\) é o produto das entradas diagonais.
Como se calcula um determinante na prática: escalone (por colunas ou por linhas), anotando o fator que cada operação introduz, até chegar a uma triangular — onde a resposta é o produto da diagonal. Para \(n=3\) isso empata com Sarrus; para \(n=5\) já não há competição.
Demonstração
Na fórmula de Leibniz, considere uma parcela não nula. Para \(A\) triangular superior, \(a_{ij} = 0\) quando \(i>j\), logo é preciso \(\sigma(j)\leq j\) para todo \(j\). Aplicando isso a \(j=1\) vem \(\sigma(1)=1\); a \(j=2\), \(\sigma(2)\in\{1,2\}\) e, sendo injetora, \(\sigma(2)=2\); e assim por diante. Só sobra \(\sigma=\mathrm{id}\), cuja parcela é \(a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\).
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\cardtitulo{Determinante de uma matriz triangular}
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\begin{cartao}
\emph{Se $A$ é triangular (superior ou inferior),
então $\det A$ é o produto das entradas diagonais.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.92,every node/.style={scale=0.92}]
\node[cxs] (A) at (0,0)
{$\begin{pmatrix}0&1&2\\ 1&2&3\\ 2&3&5\end{pmatrix}$};
\node[cxs] (B) at (3.6,0)
{$\begin{pmatrix}1&0&2\\ 2&1&3\\ 3&2&5\end{pmatrix}$};
\node[cxs] (C) at (7.4,0)
{$\begin{pmatrix}1&0&0\\ 2&1&-1\\ 3&2&-1\end{pmatrix}$};
\node[cxs] (D) at (11.2,0)
{$\begin{pmatrix}1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&2&1\end{pmatrix}$};
\draw[fseta,Flaranja] (1.1,0)--(2.5,0);
\node[cxs,Flaranja,anchor=south,align=center] at (1.8,0.12) {$C_1\leftrightarrow C_2$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=north] at (1.8,-0.12) {$\times(-1)$};
\draw[fseta,Fverde] (4.75,0)--(6.25,0);
\node[cxs,Fverde,anchor=south,align=center] at (5.5,0.12) {$C_3-2C_1$};
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (5.5,-0.12) {$\times 1$};
\draw[fseta,Fverde] (8.55,0)--(10.05,0);
\node[cxs,Fverde,anchor=south,align=center] at (9.3,0.12) {$C_3+C_2$};
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (9.3,-0.12) {$\times 1$};
\node[cx,anchor=north] at (5.6,-1.35)
{$\det\begin{pmatrix}0&1&2\\ 1&2&3\\ 2&3&5\end{pmatrix}
= (-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&2&1\end{pmatrix} = -1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Como se calcula um determinante na prática: escalone (por colunas
ou por linhas), anotando o fator que cada operação introduz, até chegar a uma triangular ---
onde a resposta é o produto da diagonal. Para $n=3$ isso empata com Sarrus; para $n=5$ já
não há competição.\par}
\begin{demonstracao}
Na fórmula de Leibniz, considere uma parcela não nula. Para $A$ triangular superior,
$a_{ij} = 0$ quando $i>j$, logo é preciso $\sigma(j)\leq j$ para todo $j$. Aplicando isso a
$j=1$ vem $\sigma(1)=1$; a $j=2$, $\sigma(2)\in\{1,2\}$ e, sendo injetora,
$\sigma(2)=2$; e assim por diante. Só sobra $\sigma=\mathrm{id}$, cuja parcela é
$a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}