Uma raiz complexa de \(p_A\) dá um plano invariante
Seja \(A\in\Mat{n}{n}\) e \(\lambda = a+ib\), \(b\neq0\), uma raiz de \(p_A\). Seja \(z = u+iw\in\Cx^n\) (\(u,w\in\R^n\)) com \(Az = \lambda z\), \(z\neq0\). Então \(u\) e \(w\) são LI, o plano \(S = [u,w]\) é invariante, e na base \((w,u)\) \[[A|_S] = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}.\]
Demonstração
Um \(z\) assim existe: \(\det(A-\lambda I) = 0\) sobre \(\Cx\), e o sistema \((A-\lambda I)z = 0\) tem solução não nula em \(\Cx^n\) (a teoria de dimensão, sistemas lineares e determinantes vale sobre \(\Cx\) sem mudança). Separando partes real e imaginária em \(A(u+iw) = (a+ib)(u+iw)\), e usando que \(A\) é real, \[Au = au-bw,\qquad Aw = bu+aw.\] Logo \(S = [u,w]\) é invariante, e na base \((w,u)\) as colunas são \([Aw] = (a,b)\) e \([Au] = (-b,a)\). Resta ver que \(u,w\) são LI. Se não fossem, \(S\) seria uma reta (não é \(\{0\}\), porque \(z\neq0\)) invariante, gerada por um \(x\) com \(Ax = \mu x\), \(\mu\) real; e \(z\), sendo combinação complexa de \(u\) e \(w\), seria um múltiplo complexo de \(x\), donde \(Az = \mu z\) e \(\lambda = \mu\in\R\), contra \(b\neq0\).
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\cardtitulo{Uma raiz complexa de $p_A$ dá um plano invariante}
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\cardrequer{def-inv, ex-ab}
\cardrequerdem{thm-invertivel, ex-inv-b}
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\begin{cartao}
\emph{Seja
$A\in\Mat{n}{n}$ e $\lambda = a+ib$, $b\neq0$, uma raiz de $p_A$. Seja $z = u+iw\in\Cx^n$
($u,w\in\R^n$) com $Az = \lambda z$, $z\neq0$. Então $u$ e $w$ são LI, o plano $S = [u,w]$
é invariante, e na base $(w,u)$}
\[[A|_S] = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}.\]
\begin{demonstracao}
Um $z$ assim existe: $\det(A-\lambda I) = 0$ sobre $\Cx$, e o sistema $(A-\lambda I)z = 0$ tem
solução não nula em $\Cx^n$ (a teoria de dimensão, sistemas lineares e determinantes vale sobre $\Cx$ sem mudança).
Separando partes real e imaginária em $A(u+iw) = (a+ib)(u+iw)$, e usando que $A$ é real,
\[Au = au-bw,\qquad Aw = bu+aw.\]
Logo $S = [u,w]$ é invariante, e na base $(w,u)$ as colunas são $[Aw] = (a,b)$ e
$[Au] = (-b,a)$. Resta ver que $u,w$ são LI. Se não fossem, $S$ seria uma reta (não é $\{0\}$,
porque $z\neq0$) invariante, gerada por um $x$ com $Ax = \mu x$, $\mu$ real; e $z$, sendo
combinação complexa de $u$ e $w$, seria um múltiplo complexo de $x$, donde $Az = \mu z$ e
$\lambda = \mu\in\R$, contra $b\neq0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}