Caracterizações da soma direta

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\begin{cartao}

\emph{Sejam $S_1,S_2$ subespaços de $V$. São
equivalentes:}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{$V = S_1\oplus S_2$;}
\item \emph{todo $v\in V$ se escreve de \emph{uma única} maneira como $v = s_1+s_2$, com
$s_1\in S_1$ e $s_2\in S_2$;}
\item \emph{$V = S_1+S_2$, e $s_1+s_2 = 0$ com $s_i\in S_i$ implica $s_1 = s_2 = 0$.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
 \draw[eixo] (-2.6,0)--(3.6,0);
 \draw[eixo] (0,-1.3)--(0,2.9);
 \draw[Fazul,line width=1.3pt] (-2.5,-0.625)--(3.5,0.875);
 \draw[Flaranja,line width=1.3pt] (-0.65,-1.3)--(1.45,2.9);
 \node[cxs,Fazul,anchor=north west] at (3.1,0.7) {$S_1$};
 \node[cxs,Flaranja,anchor=south east] at (1.4,2.8) {$S_2$};
 \fill[Frosa] (3,2.5) circle (2.4pt);
 \node[cxs,Frosa,anchor=west] at (3.1,2.55) {$v$};
 \draw[tr] (3,2.5)--(2,0.5);
 \draw[tr] (3,2.5)--(1,2);
 \draw[vet,Fazul] (0,0)--(2,0.5);
 \draw[vet,Flaranja] (0,0)--(1,2);
 \node[cxs,Fazul,anchor=north west] at (2.1,0.35) {$s_1 = \pi_1(v)$};
 \node[cxs,Flaranja,anchor=east] at (0.45,1.15) {$s_2 = \pi_2(v)$};
 \fill[black] (0,0) circle (1.8pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

{\footnotesize\itshape $\R^2 = S_1\oplus S_2$ com duas retas quaisquer (não
necessariamente perpendiculares). Por $v$ traçam-se paralelas às duas retas; os cortes
dão $s_1$ e $s_2$, e só há uma maneira de fazê-lo. As componentes $\pi_1(v)$ e $\pi_2(v)$
dependem das \emph{duas} retas: mudando $S_2$, muda também $\pi_1(v)$.\par}

\begin{demonstracao}

(a)$\Rightarrow$(b). A existência é $V = S_1+S_2$. Se $s_1+s_2 = t_1+t_2$, então
\[s_1-t_1 = t_2-s_2.\]
O lado esquerdo está em $S_1$ e o direito em $S_2$; logo os dois estão em
$S_1\cap S_2 = \{0\}$, e $s_1 = t_1$, $s_2 = t_2$.

(b)$\Rightarrow$(c). $0 = 0+0$ é uma decomposição de $0$; pela unicidade, é a única.

(c)$\Rightarrow$(a). Se $v\in S_1\cap S_2$, então $v+(-v) = 0$ com $v\in S_1$ e
$-v\in S_2$; por (c), $v = 0$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}