Dimensão das matrizes simétricas e das antissimétricas
\(\Simet = \{A\in\Mat{n}{n}: A^t = A\}\) e \(\mathcal{A} = \{A : A^t = -A\}\). Uma matriz simétrica fica determinada pela diagonal e pela parte estritamente triangular superior: \[\dim\Simet = n+\frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}.\] Uma antissimétrica tem diagonal nula e fica determinada pela parte estritamente triangular superior: \(\dim\mathcal{A} = \frac{n(n-1)}{2}\). Note que \(\dim\Simet+\dim\mathcal{A} = n^2 = \dim\Mat{n}{n}\) — coerente com \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\) (Exemplo 2.28), que o Corolário 2.86 explica.
Uma base de \(\Simet\): as matrizes \(E_{ii}\) e \(E_{ij}+E_{ji}\) com \(i<j\).
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\cardtitulo{Dimensão das matrizes simétricas e das antissimétricas}
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\cardrequer{def-dim, ex-sub-d}
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\cardveja{ex-diretas-b, cor-direta}
\begin{cartao}
$\Simet = \{A\in\Mat{n}{n}: A^t = A\}$ e $\mathcal{A} = \{A : A^t = -A\}$. Uma matriz
simétrica fica determinada pela diagonal e pela parte estritamente triangular superior:
\[\dim\Simet = n+\frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}.\]
Uma antissimétrica tem diagonal nula e fica determinada pela parte estritamente triangular
superior: $\dim\mathcal{A} = \frac{n(n-1)}{2}$. Note que
$\dim\Simet+\dim\mathcal{A} = n^2 = \dim\Mat{n}{n}$ --- coerente com
$\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}$ (\vejacard{ex-diretas-b}), que o \vejacard{cor-direta} explica.
\noindent Uma base de $\Simet$: as matrizes $E_{ii}$ e $E_{ij}+E_{ji}$ com $i<j$.
\end{cartao}