As projeções de uma soma direta

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\cardtitulo{As projeções de uma soma direta}
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\cardveja{nota-decomposicao-em-duas-retas}

\begin{cartao}

\emph{Seja $V = S_1\oplus S_2$ e, para $v = s_1+s_2$ (a
única decomposição), ponha $\pi_1(v) = s_1$ e $\pi_2(v) = s_2$. Então:}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{$\pi_1$ e $\pi_2$ são lineares, e $\pi_1+\pi_2 = \mathrm{Id}$;}
\item \emph{$\pi_1\circ\pi_1 = \pi_1$, $\Ima(\pi_1) = S_1$ e $N(\pi_1) = S_2$ (e o mesmo para
$\pi_2$, trocando os papéis).}
\end{enumerate}

\begin{demonstracao}

(a) Sejam $v = s_1+s_2$ e $w = t_1+t_2$. Então
\[v+\lambda w = (s_1+\lambda t_1)+(s_2+\lambda t_2),\]
com a primeira parcela em $S_1$ e a segunda em $S_2$. Pela unicidade, essa é \emph{a}
decomposição de $v+\lambda w$, e portanto $\pi_1(v+\lambda w) = s_1+\lambda t_1 =
\pi_1(v)+\lambda\pi_1(w)$. E $\pi_1(v)+\pi_2(v) = s_1+s_2 = v$.

(b) Se $s\in S_1$, sua decomposição é $s = s+0$, logo $\pi_1(s) = s$. Como
$\pi_1(v)\in S_1$, isso dá $\pi_1(\pi_1(v)) = \pi_1(v)$, e também $\Ima(\pi_1) = S_1$.
Finalmente, $\pi_1(v) = 0\iff v = 0+s_2\iff v\in S_2$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}