Autovetores de autovalores distintos são LI
Se \(v_1,\ldots,v_k\) são autovetores de \(T\) associados a autovalores distintos \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\), então \(v_1,\ldots,v_k\) são LI.
A ideia: aplicar \(T-\lambda_kI\) mata o último termo e multiplica os outros por números não nulos. É um polinômio em \(T\) usado como ferramenta (Proposição 8.17).
Demonstração
Indução em \(k\); para \(k = 1\), \(v_1\neq0\). Suponha o resultado para \(k-1\) e seja \[a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0.\tag{$\ast$}\] Aplique \(T-\lambda_kI\): como \((T-\lambda_kI)v_i = (\lambda_i-\lambda_k)v_i\), \[a_1(\lambda_1-\lambda_k)v_1+\cdots+a_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)v_{k-1} = 0.\] Pela hipótese de indução, \(a_i(\lambda_i-\lambda_k) = 0\) para \(i<k\), e como \(\lambda_i\neq\lambda_k\), \(a_i = 0\). Então \((\ast)\) vira \(a_kv_k = 0\), e \(a_k = 0\).
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\begin{cartao}
Se $v_1,\ldots,v_k$ são
autovetores de $T$ associados a autovalores distintos $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$, então
$v_1,\ldots,v_k$ são LI.
\begin{demonstracao}
Indução em $k$; para $k = 1$, $v_1\neq0$. Suponha o resultado para $k-1$ e seja
\[a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0.\tag{$\ast$}\]
Aplique $T-\lambda_kI$: como $(T-\lambda_kI)v_i = (\lambda_i-\lambda_k)v_i$,
\[a_1(\lambda_1-\lambda_k)v_1+\cdots+a_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)v_{k-1} = 0.\]
Pela hipótese de indução, $a_i(\lambda_i-\lambda_k) = 0$ para $i<k$, e como
$\lambda_i\neq\lambda_k$, $a_i = 0$. Então $(\ast)$ vira $a_kv_k = 0$, e $a_k = 0$.
\end{demonstracao}
\noindent A ideia: aplicar $T-\lambda_kI$ \emph{mata} o último termo e multiplica os outros
por números não nulos. É um polinômio em $T$ usado como ferramenta (\vejacard{prop-poli}).
\end{cartao}