O polinômio característico: grau, traço e determinante
\(p_T\) não depende da base usada para calculá-lo, e é um polinômio de grau \(n\): \[p_T(\lambda) = (-1)^n\lambda^n+(-1)^{n-1}(\tr T)\,\lambda^{n-1}+\cdots+\det T.\] Para \(n = 2\): \(p_A(\lambda) = \lambda^2-(\tr A)\lambda+\det A\).
Demonstração
Se \(A' = P^{-1}AP\), então \(A'-\lambda I = P^{-1}(A-\lambda I)P\), e o determinante é o mesmo (Corolário 4.22). Pela fórmula de Leibniz (Teorema 4.6), \(\det(A-\lambda I)\) é uma soma de produtos de \(n\) entradas, uma de cada linha e coluna; cada entrada é constante ou da forma \(a_{ii}-\lambda\). O único produto com grau \(\geq n-1\) em \(\lambda\) é o da diagonal, \(\prod_i(a_{ii}-\lambda)\), porque um produto que use uma entrada fora da diagonal deixa de usar pelo menos duas entradas diagonais. Expandindo, os coeficientes de \(\lambda^n\) e \(\lambda^{n-1}\) são \((-1)^n\) e \((-1)^{n-1}\sum_ia_{ii}\). O termo constante é \(p_T(0) = \det T\).
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\begin{cartao}
\emph{$p_T$ não depende da
base usada para calculá-lo, e é um polinômio de grau $n$:}
\[p_T(\lambda) = (-1)^n\lambda^n+(-1)^{n-1}(\tr T)\,\lambda^{n-1}+\cdots+\det T.\]
\emph{Para $n = 2$: $p_A(\lambda) = \lambda^2-(\tr A)\lambda+\det A$.}
\begin{demonstracao}
Se $A' = P^{-1}AP$, então $A'-\lambda I = P^{-1}(A-\lambda I)P$, e o determinante é o mesmo
(\vejacard{cor-determinante-da-inversa}). Pela fórmula de Leibniz (\vejacard{thm-formula-do-determinante}), $\det(A-\lambda I)$ é uma soma de produtos de $n$
entradas, uma de cada linha e coluna; cada entrada é constante ou da forma $a_{ii}-\lambda$.
O único produto com grau $\geq n-1$ em $\lambda$ é o da diagonal,
$\prod_i(a_{ii}-\lambda)$, porque um produto que use uma entrada fora da diagonal deixa de usar
pelo menos duas entradas diagonais. Expandindo, os coeficientes de $\lambda^n$ e $\lambda^{n-1}$
são $(-1)^n$ e $(-1)^{n-1}\sum_ia_{ii}$. O termo constante é $p_T(0) = \det T$.
\end{demonstracao}
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