Polinômios em \(T\) e autovalores
Para \(p(t) = a_0+a_1t+\cdots+a_mt^m\), escreva \(p(T) = a_0I+a_1T+\cdots+a_mT^m\).
Se \(Tv = \lambda v\), então \(p(T)v = p(\lambda)v\). Em particular, se \(p(T) = 0\), todo autovalor de \(T\) é raiz de \(p\).
Demonstração
\(T^jv = \lambda^jv\) por indução, e soma-se. Se \(p(T) = 0\) e \(v\neq0\) é autovetor de \(\lambda\), então \(0 = p(\lambda)v\), logo \(p(\lambda) = 0\).
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\begin{cartao}
Para $p(t) = a_0+a_1t+\cdots+a_mt^m$, escreva $p(T) = a_0I+a_1T+\cdots+a_mT^m$.
Se $Tv = \lambda v$,
então $p(T)v = p(\lambda)v$. Em particular, se $p(T) = 0$, todo autovalor de $T$ é raiz de
$p$.
\begin{demonstracao}
$T^jv = \lambda^jv$ por indução, e soma-se. Se $p(T) = 0$ e $v\neq0$ é autovetor de
$\lambda$, então $0 = p(\lambda)v$, logo $p(\lambda) = 0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}