Início · Capítulo 8 · Autovalores e diagonalização
O teorema fundamental da álgebra dá raízes complexas de \(p_T\). E todas as definições e resultados sobre espaços vetoriais, transformações lineares, determinantes e autovalores valem sobre \(\Cx\) sem mudança, trocando \(\R\) por \(\Cx\) como corpo de escalares.
Seja \(T:V\to V\), com \(V\) complexo de dimensão \(n\) — ou com \(V\) real e \(p_T\) se fatorando em fatores lineares reais. Existe uma base \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) com \([T]_B\) triangular superior. Equivalentemente, os subespaços \(W_j = [v_1,\ldots,v_j]\) são todos invariantes.
Forma triangular e bandeira invariante: a matriz é triangular superior na base \((v_1,\ldots,v_n)\) exatamente quando cada \(W_j = [v_1,\ldots,v_j]\) é invariante. A diagonal traz os autovalores, com multiplicidade.
A estratégia da demonstração é a mesma do teorema espectral (Teorema 9.5): ache um autovetor, passe ao quociente (ou ao complemento ortogonal), use indução.
Indução em \(n\); para \(n = 1\) não há o que fazer. Pela hipótese, \(p_T\) tem uma raiz \(\mu_1\), que é autovalor; seja \(v_1\) um autovetor. A reta \([v_1]\) é invariante, e \(T\) induz \(\bar T\) em \(V/[v_1]\), de dimensão \(n-1\) (Proposição 5.56). Como \(p_T = (\mu_1-\lambda)\,p_{\bar T}\) (Proposição 8.43), \(p_{\bar T}\) também se fatora. Pela hipótese de indução há uma base \((\bar v_2,\ldots,\bar v_n)\) de \(V/[v_1]\) em que \([\bar T]\) é triangular superior; escolha representantes \(v_2,\ldots,v_n\). Então \((v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\) (Proposição 5.42), e \(T(v_j)\equiv\) combinação de \(v_2,\ldots,v_j\) módulo \([v_1]\), isto é, \(T(v_j)\in[v_1,\ldots,v_j]\): a matriz é triangular superior.
As entradas diagonais \(\mu_1,\ldots,\mu_n\) de uma forma triangular são as raízes de \(p_T\) com multiplicidade. Portanto \(\tr T = \sum_i\mu_i\) e \(\det T = \prod_i\mu_i\) (somas e produtos das raízes complexas de \(p_T\)).
\(p_T(\lambda) = \det([T]_B-\lambda I) = \prod_i(\mu_i-\lambda)\), determinante de triangular.
Em movimento: A quick trick for computing eigenvalues — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
Para \(A = \left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d \end{smallmatrix}\right)\), \(p_A(\lambda) = \lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)\), e uma conta direta dá \[A^2-(a+d)A+(ad-bc)I = \begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}a^2+ad&ab+bd\\ac+cd&ad+d^2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc \end{pmatrix} = 0.\]
Para todo operador \(T\) em dimensão finita, \(p_T(T) = 0\).
Primeiro sobre \(\Cx\). Pelo Teorema 8.54, há uma base com \([T]\) triangular superior, com diagonal \(\mu_1,\ldots,\mu_n\), e \(p_T(\lambda) = \prod_i(\mu_i-\lambda)\); logo \(p_T(T) = \pm(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_nI)\). Afirmamos que \[(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_jI)\ \text{anula}\ W_j\qquad(j = 1,\ldots,n).\] Para \(j = 1\): \(v_1\) é autovetor de \(\mu_1\). Suponha para \(j-1\). A coluna \(j\) da matriz diz que \(T(v_j) = \mu_jv_j+(\text{algo em }W_{j-1})\), isto é, \((T-\mu_jI)v_j\in W_{j-1}\); e \((T-\mu_jI)W_{j-1}\subset W_{j-1}\) porque \(W_{j-1}\) é invariante. Logo \((T-\mu_jI)W_j\subset W_{j-1}\). Como polinômios em \(T\) comutam, \[\begin{align*} (T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_jI)W_j &= (T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_{j-1}I)\big[(T-\mu_jI)W_j\big]\\ &\subset(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_{j-1}I)W_{j-1} = 0. \end{align*}\] Com \(j = n\), \(W_n = V\) e \(p_T(T) = 0\).
Caso real. Se \(A\) é uma matriz real, ela também é complexa, com o mesmo polinômio característico; a identidade \(p_A(A) = 0\) entre matrizes vale sobre \(\Cx\), e as entradas são reais.
A demonstração de Cayley–Hamilton como uma escada (\(n = 4\)). O fator \(T-\mu_jI\) leva \(W_j\) para dentro de \(W_{j-1}\), porque o último vetor da base de \(W_j\) é autovetor “módulo \(W_{j-1}\)”. Depois de todos os fatores, não sobra nada.
A conta \(p_A(A) = \det(A-A\cdot I) = \det 0 = 0\) não demonstra o Teorema 8.57. Onde está o erro? \(p_A(A)\) é uma matriz, obtida substituindo \(\lambda\) por \(A\) no polinômio \(\det(A-\lambda I)\) já expandido; \(\det(A-A)\) é um número. O lado esquerdo e o direito nem são do mesmo tipo.
Se \(A\) é \(n\times n\), toda potência \(A^m\) com \(m\geq n\) é combinação linear de \(I,A,\ldots,A^{n-1}\). Se \(A\) é invertível, \(A^{-1}\) é um polinômio em \(A\) de grau \(\leq n-1\).
\(p_A(A) = 0\) exprime \(A^n\) em termos de potências menores; multiplicando por \(A\) e repetindo, o mesmo vale para \(A^m\). Se \(A\) é invertível, o termo constante de \(p_A\) é \(\det A\neq0\); escrevendo \(p_A(A) = A\,q(A)+(\det A)I = 0\), vem \(A^{-1} = -\frac{1}{\det A}\,q(A)\).
\(A = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}\): \(p_A = (1-\lambda)^2(2-\lambda) = -(\lambda^3-4\lambda^2+5\lambda-2)\). Então \(A^3-4A^2+5A = 2I\), isto é, \(A\,(A^2-4A+5I) = 2I\), e \[A^{-1} = \tfrac12(A^2-4A+5I) = \begin{pmatrix}1&-1&\frac12\\0&1&-\frac12\\0&0&\frac12 \end{pmatrix}.\]
\(A = \left(\begin{smallmatrix}1&1\\1&0\end{smallmatrix}\right)\) (a matriz do Exemplo 8.34): \(A^2 = A+I\). Por indução, \(A^m = F_mA+F_{m-1}I\); em particular \(A^{10} = 55A+34I = \left(\begin{smallmatrix}89&55\\55&34\end{smallmatrix}\right)\), sem multiplicar matrizes.
Existe um único polinômio mônico \(m_T\) de grau mínimo com \(m_T(T) = 0\). Ele divide todo polinômio \(p\) com \(p(T) = 0\) — em particular divide \(p_T\) — e suas raízes são exatamente os autovalores de \(T\).
Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio mínimo, porque \(q(PAP^{-1}) = Pq(A)P^{-1}\).
Existência: pelo Teorema 8.57, algum polinômio não nulo anula \(T\); tome um de grau mínimo e divida pelo coeficiente líder. Divide: se \(p(T) = 0\), divida: \(p = qm_T+r\) com \(\deg r<\deg m_T\). Então \(r(T) = p(T)-q(T)m_T(T) = 0\), e pela minimalidade, \(r = 0\). Unicidade: dois mônicos mínimos se dividem um ao outro e têm o mesmo grau, logo são iguais. Raízes: se \(\lambda\) é autovalor, \(m_T(\lambda) = 0\) (Proposição 8.17). Reciprocamente, se \(m_T(\lambda) = 0\), escreva \(m_T = (t-\lambda)q\); como \(\deg q<\deg m_T\), \(q(T)\neq0\), e existe \(v\) com \(w = q(T)v\neq0\). Então \((T-\lambda I)w = m_T(T)v = 0\): \(\lambda\) é autovalor, com autovetor \(w\).
\(T = I\): \(m = t-1\). \(T\) idempotente, \(T\neq0,I\): \(m = t(t-1)\). \(T\) nilpotente com \(T^k = 0\neq T^{k-1}\): \(m = t^k\).
\(A = \mathrm{diag}(2,2,3)\) e \(B = \left(\begin{smallmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3 \end{smallmatrix}\right)\) têm o mesmo \(p = (2-\lambda)^2(3-\lambda)\). Os candidatos a \(m\) são os divisores mônicos com as duas raízes: \((t-2)(t-3)\) ou \((t-2)^2(t-3)\). Para \(A\), \((A-2I)(A-3I) = \mathrm{diag}(0,0,1)\,\mathrm{diag}(-1,-1,0) = 0\): \(m_A = (t-2)(t-3)\). Para \(B\), \((B-2I)(B-3I)\) tem entrada \((1,2)\) igual a \(1\cdot(-1) = -1\neq0\): \(m_B = (t-2)^2(t-3)\).
O mesmo polinômio característico, polinômios mínimos diferentes. O \(1\) circulado em \(B\) é o que impede \((B-2I)(B-3I)\) de se anular, e é o que eleva o expoente de \(t-2\) no polinômio mínimo. Também mostra que \(p_A = p_B\) não implica que \(A\) e \(B\) sejam semelhantes (Definição 3.15).
\(T\) é diagonalizável se e somente se \(m_T\) tem todas as raízes reais e simples, isto é, \(m_T = (t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)\) com \(\lambda_i\) reais e distintos. Basta, para isso, que \(T\) seja anulado por algum polinômio com raízes reais simples.
Os polinômios de Lagrange nos autovalores \(1,2,3\). Cada \(q_i\) vale \(1\) no seu autovalor e \(0\) nos outros, e os três somam \(1\). Aplicados a \(T\), viram as projeções sobre os autoespaços: \(q_i(T)\) é a identidade em \(V_{\lambda_i}\) e zero nos outros, e \(\sum_iq_i(T) = I\) é a decomposição \(V = \bigoplus_iV_{\lambda_i}\).
A demonstração amarra três coisas: os polinômios de Lagrange (Proposição 5.13), as somas diretas como famílias de projeções que somam a identidade (Proposição 2.33, Proposição 8.45), e a diagonalização (Teorema 8.23).
(\(\Rightarrow\)) Numa base de autovetores, \(\prod_i(T-\lambda_iI)\) anula cada vetor da base (o fator correspondente ao seu autovalor o anula, e os fatores comutam).
(\(\Leftarrow\)) Considere os polinômios de Lagrange nos nós \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) (Proposição 5.13): \[q_i(t) = \prod_{j\neq i}\frac{t-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j},\qquad q_i(\lambda_j) = \delta_{ij}.\] O polinômio \(\sum_iq_i\) tem grau \(\leq k-1\) e vale \(1\) nos \(k\) nós, logo é a constante \(1\) (a diferença teria \(k\) raízes). Portanto \(\sum_iq_i(T) = I\). Além disso, \((t-\lambda_i)q_i(t)\) é um múltiplo de \(\prod_j(t-\lambda_j)\), que anula \(T\); logo \((T-\lambda_iI)q_i(T) = 0\), isto é, \(\Ima q_i(T)\subset V_{\lambda_i}\). Então todo \(v\) se escreve \[v = \sum_iq_i(T)v\in V_{\lambda_1}+\cdots+V_{\lambda_k},\] e \(V\) é a soma dos autoespaços: \(T\) é diagonalizável (Teorema 8.23). A última frase do enunciado: se \(p(T) = 0\) com raízes simples, \(m_T\) divide \(p\) e também tem raízes simples.
\(\Theta(A) = A^t\) é diagonalizável: \(\Theta^2 = I\), e \(t^2-1 = (t-1)(t+1)\) tem raízes simples. Compare com o Exemplo 8.19.
Toda projeção (\(T^2 = T\)) e toda involução (\(T^2 = I\)) são diagonalizáveis.
Se \(T\) é diagonalizável e \(S\) é invariante, \(T|_S\) é diagonalizável: \(m_T(T|_S) = 0\), e \(m_T\) tem raízes simples.
Verdadeiro ou falso? Se \(T^2 = T\), então \(T\) é diagonalizável.
Verdadeira. \(T\) é anulado por \(t^2-t = t(t-1)\), de raízes reais simples; aplique o Teorema 8.65. (Ou, sem o teorema: \(V = \Nuc(T)\oplus\Ima(T)\) pela Proposição 2.36, com \(T = 0\) no primeiro e \(T = I\) no segundo.)
Verdadeiro ou falso? Se \(T^2\) é diagonalizável, então \(T\) é diagonalizável.
Falsa. \(T = \left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix} \right)\): \(T^2 = 0\) é diagonal, e \(T\) não é diagonalizável (\(m_T = t^2\)). Outro contra-exemplo, sem autovalores reais: a rotação de \(90^\circ\), com \(T^2 = -I\).