Polinômio mínimo

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\cardid{thm-min}
\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{Polinômio mínimo}
\cardtags{}
\cardautor{}

\cardrequer{prop-poli, def-pcar}
\cardrequerdem{thm-ch}
\cardveja{}

\begin{cartao}

Existe um único polinômio
mônico $m_T$ de grau mínimo com $m_T(T) = 0$. Ele divide todo polinômio $p$ com $p(T) = 0$ ---
em particular divide $p_T$ --- e suas raízes são exatamente os autovalores de $T$.

\noindent Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio mínimo, porque
$q(PAP^{-1}) = Pq(A)P^{-1}$.

\begin{demonstracao}

\emph{Existência:} pelo \vejacard{thm-ch}, algum polinômio não nulo anula $T$; tome um de
grau mínimo e divida pelo coeficiente líder. \emph{Divide:} se $p(T) = 0$, divida:
$p = qm_T+r$ com $\deg r<\deg m_T$. Então $r(T) = p(T)-q(T)m_T(T) = 0$, e pela minimalidade,
$r = 0$. \emph{Unicidade:} dois mônicos mínimos se dividem um ao outro e têm o mesmo grau, logo
são iguais. \emph{Raízes:} se $\lambda$ é autovalor, $m_T(\lambda) = 0$ (\vejacard{prop-poli}).
Reciprocamente, se $m_T(\lambda) = 0$, escreva $m_T = (t-\lambda)q$; como $\deg q<\deg m_T$,
$q(T)\neq0$, e existe $v$ com $w = q(T)v\neq0$. Então $(T-\lambda I)w = m_T(T)v = 0$: $\lambda$ é
autovalor, com autovetor $w$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}