Triangularização
Seja \(T:V\to V\), com \(V\) complexo de dimensão \(n\) — ou com \(V\) real e \(p_T\) se fatorando em fatores lineares reais. Existe uma base \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) com \([T]_B\) triangular superior. Equivalentemente, os subespaços \(W_j = [v_1,\ldots,v_j]\) são todos invariantes.
Forma triangular e bandeira invariante: a matriz é triangular superior na base \((v_1,\ldots,v_n)\) exatamente quando cada \(W_j = [v_1,\ldots,v_j]\) é invariante. A diagonal traz os autovalores, com multiplicidade.
A estratégia da demonstração é a mesma do teorema espectral (Teorema 9.5): ache um autovetor, passe ao quociente (ou ao complemento ortogonal), use indução.
Demonstração
Indução em \(n\); para \(n = 1\) não há o que fazer. Pela hipótese, \(p_T\) tem uma raiz \(\mu_1\), que é autovalor; seja \(v_1\) um autovetor. A reta \([v_1]\) é invariante, e \(T\) induz \(\bar T\) em \(V/[v_1]\), de dimensão \(n-1\) (Proposição 5.56). Como \(p_T = (\mu_1-\lambda)\,p_{\bar T}\) (Proposição 8.43), \(p_{\bar T}\) também se fatora. Pela hipótese de indução há uma base \((\bar v_2,\ldots,\bar v_n)\) de \(V/[v_1]\) em que \([\bar T]\) é triangular superior; escolha representantes \(v_2,\ldots,v_n\). Então \((v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\) (Proposição 5.42), e \(T(v_j)\equiv\) combinação de \(v_2,\ldots,v_j\) módulo \([v_1]\), isto é, \(T(v_j)\in[v_1,\ldots,v_j]\): a matriz é triangular superior.
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\cardrequer{def-inv, def-pcar}
\cardrequerdem{prop-det, prop-matriz-em-blocos-de-invariante, prop-dimq}
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\begin{cartao}
Seja $T:V\to V$, com $V$
complexo de dimensão $n$ --- ou com $V$ real e $p_T$ se fatorando em fatores lineares reais.
Existe uma base $B = (v_1,\ldots,v_n)$ com $[T]_B$ triangular superior. Equivalentemente, os
subespaços $W_j = [v_1,\ldots,v_j]$ são todos invariantes.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\draw[line width=0.9pt] (0.15,-0.05)--(-0.1,-0.05)--(-0.1,2.45)--(0.15,2.45);
\draw[line width=0.9pt] (2.25,-0.05)--(2.5,-0.05)--(2.5,2.45)--(2.25,2.45);
\fill[Fazul!12] (0,2.4)--(2.4,2.4)--(2.4,0)--cycle;
\foreach \ii in {0,1,2,3}{\node[cxs,Fazul] at ({0.3+0.6*\ii},{2.1-0.6*\ii}) {$\mu_{\the\numexpr\ii+1\relax}$};}
\node[cx] at (0.6,0.5) {$0$};
\node[cxs] at (1.9,1.9) {$\ast$};
\begin{scope}[shift={(4.2,0)}]
\draw[Fverde!80,line width=0.8pt,rounded corners=3pt] (0,0) rectangle (5.4,2.4);
\draw[Fverde!80,line width=0.8pt,rounded corners=3pt] (0.2,0.2) rectangle (4.0,2.2);
\draw[Fverde!80,line width=0.8pt,rounded corners=3pt] (0.4,0.4) rectangle (2.6,2.0);
\draw[Fverde!80,line width=0.8pt,rounded corners=3pt] (0.6,0.6) rectangle (1.4,1.8);
\node[cxs,Fverde] at (1.0,1.2) {$W_1$};
\node[cxs,Fverde] at (2.0,1.2) {$W_2$};
\node[cxs,Fverde] at (3.3,1.2) {$W_3$};
\node[cxs,Fverde] at (4.7,1.2) {$W_4 = V$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Forma triangular e bandeira invariante: a matriz é triangular
superior na base $(v_1,\ldots,v_n)$ exatamente quando cada $W_j = [v_1,\ldots,v_j]$ é
invariante. A diagonal traz os autovalores, com multiplicidade.\par}
\noindent A estratégia da demonstração é a mesma do teorema espectral
(\vejacard{thm-espectral}): ache um autovetor, passe
ao quociente (ou ao complemento ortogonal), use indução.
\begin{demonstracao}
Indução em $n$; para $n = 1$ não há o que fazer. Pela hipótese, $p_T$ tem uma raiz $\mu_1$,
que é autovalor; seja $v_1$ um autovetor. A reta $[v_1]$ é invariante, e $T$ induz
$\bar T$ em $V/[v_1]$, de dimensão $n-1$ (\vejacard{prop-induz}). Como $p_T = (\mu_1-\lambda)\,p_{\bar T}$
(\vejacard{prop-matriz-em-blocos-de-invariante}), $p_{\bar T}$ também se fatora. Pela hipótese de indução há uma base
$(\bar v_2,\ldots,\bar v_n)$ de $V/[v_1]$ em que $[\bar T]$ é triangular superior; escolha
representantes $v_2,\ldots,v_n$. Então $(v_1,\ldots,v_n)$ é base de $V$ (\vejacard{prop-dimq}), e
$T(v_j)\equiv$ combinação de $v_2,\ldots,v_j$ módulo $[v_1]$, isto é,
$T(v_j)\in[v_1,\ldots,v_j]$: a matriz é triangular superior.
\end{demonstracao}
\end{cartao}