Teorema espectral
Seja \(V\) de dimensão finita com produto interno e \(T:V\to V\) auto-adjunto. Existe uma base ortonormal de \(V\) formada por autovetores de \(T\). Em matrizes: toda matriz real simétrica se escreve \[A = QDQ^t,\qquad Q\ \text{ortogonal},\quad D\ \text{diagonal}.\] Reciprocamente, se \(T\) tem uma base ortonormal de autovetores, \(T\) é auto-adjunto.
Compare com a triangularização (Teorema 8.54): lá passava-se ao quociente \(V/[v_1]\) e a matriz ficava triangular; aqui passa-se ao complemento ortogonal, que é invariante, e o bloco acima da diagonal também se anula. O teorema é “triangularização \(+\) simetria \(=\) diagonalização”.
Demonstração
Indução em \(n = \dim V\); para \(n = 1\), qualquer vetor unitário serve. Numa base ortonormal, \([T]\) é simétrica, e pelo Lema 9.1 \(p_T\) tem uma raiz real \(\lambda_1\), que é autovalor. Seja \(u_1\) um autovetor unitário. A reta \(S = [u_1]\) é invariante, logo \(S^\perp\) é invariante (Lema 9.3), de dimensão \(n-1\) (Teorema 6.22). A restrição \(T|_{S^\perp}\) é auto-adjunta (com o produto interno restrito), e pela hipótese de indução \(S^\perp\) tem uma base ortonormal \((u_2,\ldots,u_n)\) de autovetores. Então \((u_1,\ldots,u_n)\) é ortonormal (os \(u_j\), \(j\geq2\), estão em \(S^\perp\)) e formada por autovetores.
Em matrizes: se \(Q\) tem por colunas essa base, \(Q\) é ortogonal, e \(Q^{-1}AQ = D\) (Teorema 3.14), com \(Q^{-1} = Q^t\). Recíproca: \((QDQ^t)^t = QD^tQ^t = QDQ^t\).
A demonstração do teorema espectral em \(\R^3\). Achado um autovetor, o plano perpendicular a ele é invariante, e \(T\) restrito a ele ainda é auto-adjunto; o problema cai uma dimensão. Os autovetores achados em cada passo são automaticamente ortogonais aos anteriores.
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\cardtitulo{Teorema espectral}
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\cardrequer{def-autoadj, def-auto}
\cardrequerdem{lem-reais, lem-perp, prop-det, thm-perp}
\cardveja{thm-triang, cor-ortog}
\begin{cartao}
\emph{Seja
$V$ de dimensão finita com produto interno e $T:V\to V$ auto-adjunto. Existe uma base ortonormal
de $V$ formada por autovetores de $T$. Em matrizes: toda matriz real simétrica se escreve}
\[A = QDQ^t,\qquad Q\ \text{ortogonal},\quad D\ \text{diagonal}.\]
\emph{Reciprocamente, se $T$ tem uma base ortonormal de autovetores, $T$ é auto-adjunto.}
\noindent Compare com a triangularização (\vejacard{thm-triang}): lá passava-se ao quociente
$V/[v_1]$ e a matriz
ficava triangular; aqui passa-se ao complemento ortogonal, que é invariante, e o bloco acima da
diagonal também se anula. O teorema é ``triangularização $+$ simetria $=$ diagonalização''.
\begin{demonstracao}
Indução em $n = \dim V$; para $n = 1$, qualquer vetor unitário serve. Numa base ortonormal,
$[T]$ é simétrica, e pelo \vejacard{lem-reais} $p_T$ tem uma raiz real $\lambda_1$, que é autovalor.
Seja $u_1$ um autovetor unitário. A reta $S = [u_1]$ é invariante, logo $S^\perp$ é invariante
(\vejacard{lem-perp}), de dimensão $n-1$ (\vejacard{thm-perp}). A restrição $T|_{S^\perp}$ é auto-adjunta
(com o produto interno restrito), e pela hipótese de indução $S^\perp$ tem uma base ortonormal
$(u_2,\ldots,u_n)$ de autovetores. Então $(u_1,\ldots,u_n)$ é ortonormal (os $u_j$, $j\geq2$,
estão em $S^\perp$) e formada por autovetores.
Em matrizes: se $Q$ tem por colunas essa base, $Q$ é ortogonal, e $Q^{-1}AQ = D$ (\vejacard{thm-conj}), com
$Q^{-1} = Q^t$. Recíproca: $(QDQ^t)^t = QD^tQ^t = QDQ^t$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1},
x={(-0.5cm,-0.4cm)},y={(1cm,0cm)},z={(0cm,1cm)}]
\fill[Flaranja!12] (-1.4,-1.6,0)--(1.8,-1.6,0)--(1.8,2.6,0)--(-1.4,2.6,0)--cycle;
\draw[Flaranja!60,line width=0.5pt] (-1.4,-1.6,0)--(1.8,-1.6,0)--(1.8,2.6,0)--(-1.4,2.6,0)--cycle;
\node[cxs,Flaranja,anchor=north west] at (1.8,2.6,0) {$S^\perp$ \emph{invariante}};
\draw[Fazul,line width=1.4pt] (0,0,-1.2)--(0,0,2.1);
\draw[vet,Fazul] (0,0,0)--(0,0,1.2);
\node[cxs,Fazul,anchor=east] at (0,0,1.2) {$u_1$};
\node[cxs,Fazul,anchor=south] at (0,0,2.1) {$S = [u_1]$};
\draw[vet,Fverde] (0,0,0)--(1.2,0,0);
\draw[vet,Fverde] (0,0,0)--(0,1.2,0);
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (1.2,0,0) {$u_2$};
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (0,1.2,0) {$u_3$};
\fill[black] (0,0,0) circle (1.3pt);
\node[cx,anchor=west,align=left] at (0,3.3,0.5)
{\emph{1. um autovetor $u_1$;}\\
\emph{2. o plano $u_1^\perp$ é invariante;}\\
\emph{3. repita dentro do plano.}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape A demonstração do teorema espectral em $\R^3$. Achado um autovetor,
o plano perpendicular a ele é invariante, e $T$ restrito a ele ainda é auto-adjunto; o problema
cai uma dimensão. Os autovetores achados em cada passo são automaticamente ortogonais aos
anteriores.\par}
\end{demonstracao}
\end{cartao}