Cayley–Hamilton para matrizes \(2\times2\)
Para \(A = \left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d \end{smallmatrix}\right)\), \(p_A(\lambda) = \lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)\), e uma conta direta dá \[A^2-(a+d)A+(ad-bc)I = \begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}a^2+ad&ab+bd\\ac+cd&ad+d^2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc \end{pmatrix} = 0.\]
ex-ch2 · ver o LaTeX · sugerir uma correção
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{ex-ch2}
\cardtipo{exemplo}
\cardtitulo{Cayley--Hamilton para matrizes $2\times2$}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-pcar}
\cardrequerdem{}
\cardveja{thm-ch}
\begin{cartao}
Para $A = \left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d
\end{smallmatrix}\right)$, $p_A(\lambda) = \lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)$, e uma conta direta dá
\[A^2-(a+d)A+(ad-bc)I = \begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}a^2+ad&ab+bd\\ac+cd&ad+d^2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc
\end{pmatrix} = 0.\]
\end{cartao}