A inversa de uma matriz \(3\times3\) por Cayley–Hamilton
\(A = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}\): \(p_A = (1-\lambda)^2(2-\lambda) = -(\lambda^3-4\lambda^2+5\lambda-2)\). Então \(A^3-4A^2+5A = 2I\), isto é, \(A\,(A^2-4A+5I) = 2I\), e \[A^{-1} = \tfrac12(A^2-4A+5I) = \begin{pmatrix}1&-1&\frac12\\0&1&-\frac12\\0&0&\frac12 \end{pmatrix}.\]
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\cardtitulo{A inversa de uma matriz $3\times3$ por Cayley--Hamilton}
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\begin{cartao}
$A = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}$: $p_A = (1-\lambda)^2(2-\lambda) =
-(\lambda^3-4\lambda^2+5\lambda-2)$. Então $A^3-4A^2+5A = 2I$, isto é,
$A\,(A^2-4A+5I) = 2I$, e
\[A^{-1} = \tfrac12(A^2-4A+5I) = \begin{pmatrix}1&-1&\frac12\\0&1&-\frac12\\0&0&\frac12
\end{pmatrix}.\]
\end{cartao}