Dimensão do quociente: \(\dim V/S = \dim V-\dim S\)
Seja \((v_1,\ldots,v_k)\) base de \(S\), completada a uma base \((v_1,\ldots,v_n)\) de \(V\). Então \((\bar v_{k+1},\ldots,\bar v_n)\) é base de \(V/S\). Em particular, \[\dim V/S = \dim V-\dim S.\]
A demonstração não usa o teorema do núcleo e da imagem — e isso importa, porque o Corolário 5.49 deduz esse teorema do quociente, e não queremos círculo.
Demonstração
Gera: dado \(v = \sum_{i=1}^na_iv_i\), temos \(\bar v = \sum_ia_i\bar v_i = \sum_{i>k}a_i\bar v_i\), porque \(\bar v_i = 0\) para \(i\leq k\). LI: se \(\sum_{i>k}c_i\bar v_i = 0\), então \(\sum_{i>k}c_iv_i\in S = [v_1,\ldots,v_k]\), isto é, \(\sum_{i>k}c_iv_i = \sum_{i\leq k}d_iv_i\); como \((v_1,\ldots,v_n)\) é LI, todos os \(c_i\) são nulos.
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\cardtitulo{Dimensão do quociente: $\dim V/S = \dim V-\dim S$}
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\begin{cartao}
\emph{Seja
$(v_1,\ldots,v_k)$ base de $S$, completada a uma base $(v_1,\ldots,v_n)$ de $V$. Então
$(\bar v_{k+1},\ldots,\bar v_n)$ é base de $V/S$. Em particular,}
\[\dim V/S = \dim V-\dim S.\]
\noindent A demonstração não usa o teorema do núcleo e da imagem --- e isso importa, porque o
\vejacard{cor-nucimg} deduz esse teorema do quociente, e não queremos círculo.
\begin{demonstracao}
\emph{Gera:} dado $v = \sum_{i=1}^na_iv_i$, temos $\bar v = \sum_ia_i\bar v_i =
\sum_{i>k}a_i\bar v_i$, porque $\bar v_i = 0$ para $i\leq k$. \emph{LI:} se
$\sum_{i>k}c_i\bar v_i = 0$, então $\sum_{i>k}c_iv_i\in S = [v_1,\ldots,v_k]$, isto é,
$\sum_{i>k}c_iv_i = \sum_{i\leq k}d_iv_i$; como $(v_1,\ldots,v_n)$ é LI, todos os $c_i$ são
nulos.
\end{demonstracao}
\end{cartao}