Traço e determinante: soma e produto das raízes de \(p_T\)
As entradas diagonais \(\mu_1,\ldots,\mu_n\) de uma forma triangular são as raízes de \(p_T\) com multiplicidade. Portanto \(\tr T = \sum_i\mu_i\) e \(\det T = \prod_i\mu_i\) (somas e produtos das raízes complexas de \(p_T\)).
Demonstração
\(p_T(\lambda) = \det([T]_B-\lambda I) = \prod_i(\mu_i-\lambda)\), determinante de triangular.
Em movimento: A quick trick for computing eigenvalues — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\begin{cartao}
\emph{As entradas diagonais $\mu_1,\ldots,\mu_n$ de uma forma
triangular são as raízes de $p_T$ com multiplicidade. Portanto $\tr T = \sum_i\mu_i$ e
$\det T = \prod_i\mu_i$ (somas e produtos das raízes complexas de $p_T$).}
\begin{demonstracao}
$p_T(\lambda) = \det([T]_B-\lambda I) = \prod_i(\mu_i-\lambda)$, determinante de triangular.
\end{demonstracao}
\end{cartao}