\(n\)-linear: cada parcela contém exatamente um fator de cada coluna — o fator \(a_{\sigma(j)j}\) vem da coluna \(j\) —, logo cada parcela é linear em cada coluna, e a soma também.
Alternada: suponha \(C_k = C_\ell\) com \(k\neq\ell\), isto é, \(a_{ik} = a_{i\ell}\) para todo \(i\). Seja \(\tau\) a transposição que troca \(k\) e \(\ell\); a aplicação \(\sigma\mapsto\sigma\tau\) é uma bijeção de \(S_n\) que troca o sinal. Reindexando o produto associado a \(\sigma\tau\) pela substituição \(j' = \tau(j)\), \[\prod_{j} a_{\sigma\tau(j)\,j} = \prod_{j'} a_{\sigma(j')\,\tau(j')}
= a_{\sigma(k)\ell}\,a_{\sigma(\ell)k}\!\!\prod_{j'\neq k,\ell}\!\! a_{\sigma(j')j'}
= a_{\sigma(k)k}\,a_{\sigma(\ell)\ell}\!\!\prod_{j'\neq k,\ell}\!\! a_{\sigma(j')j'}
= \prod_{j} a_{\sigma(j)j},\] onde na terceira igualdade usamos \(a_{ik} = a_{i\ell}\). Ou seja: \(\sigma\) e \(\sigma\tau\) contribuem com o mesmo produto e com sinais opostos. As parcelas se cancelam duas a duas e a soma é zero.
Valor na identidade: em \(I_n\), o produto \(a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}\) é nulo a menos que \(\sigma = \mathrm{id}\), e para essa vale \(1\).
Outra demonstração da existência, sem permutações. Esta versão substitui a fórmula de Leibniz por uma definição recursiva, e com isso dispensa a discussão sobre sinal de permutação.
A construção. Defina \(D_1\big([\,a\,]\big) := a\) e, para \(n\geq2\), defina recursivamente \[D_n(A) := \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}\,a_{i1}\,D_{n-1}(A_{i1}),\] onde \(A_{i1}\) é a matriz obtida de \(A\) apagando a linha \(i\) e a primeira coluna. (É o desenvolvimento pela primeira coluna, usado agora como definição.)
Afirmação. \(D_n\) é \(n\)-linear e alternada nas colunas, e \(D_n(I_n)=1\). Pelo Teorema 4.5, segue que \(D_n\) é a única forma com essas propriedades — isto é, \(D_n = \det\), e a existência está provada.
Demonstração, por indução em \(n\). Para \(n=1\) tudo é trivial. Suponha o resultado para \(n-1\).
(1) \(D_n(I_n) = 1\). Na soma, \(a_{i1} = 0\) para \(i\geq2\); sobra a parcela \(i=1\), que vale \(1\cdot D_{n-1}(I_{n-1}) = 1\) pela hipótese de indução.
(2) \(D_n\) é linear em cada coluna. Na coluna \(1\): o fator \(D_{n-1}(A_{i1})\) não vê a primeira coluna, e o fator \(a_{i1}\) é linear nela; logo cada parcela é linear na coluna \(1\). Numa coluna \(j\geq2\): o fator \(a_{i1}\) não a vê, e \(A_{i1}\) contém essa coluna (sem a linha \(i\)), de modo que \(D_{n-1}(A_{i1})\) é linear nela por hipótese de indução.
(3) \(D_n(A) = 0\) quando duas colunas vizinhas são iguais. Sejam \(C_j = C_{j+1}\).
Caso \(j\geq2\). Cada menor \(A_{i1}\) ainda tem essas duas colunas, agora vizinhas nas posições \(j-1\) e \(j\); por indução, \(D_{n-1}(A_{i1}) = 0\) para todo \(i\), e a soma é nula.
Caso \(j=1\), isto é, \(C_1 = C_2\). Aqui os menores não têm colunas repetidas, e é preciso trabalhar. Expanda mais uma vez: a primeira coluna de \(A_{i1}\) é \(C_2\) sem a linha \(i\) — que, por hipótese, é \(C_1\) sem a linha \(i\), de entradas \(a_{k1}\) com \(k\neq i\). Aplicando a definição de \(D_{n-1}\) a \(A_{i1}\), \[D_n(A) = \sum_{i=1}^n\ \sum_{k\neq i} (-1)^{i+1}\,(-1)^{p(i,k)+1}\,a_{i1}\,a_{k1}\,
D_{n-2}\big(A_{\{i,k\},\{1,2\}}\big),\] onde \(A_{\{i,k\},\{1,2\}}\) é \(A\) sem as linhas \(i,k\) e sem as colunas \(1,2\), e \(p(i,k)\) é a posição da linha \(k\) dentro de \(A_{i1}\), a saber \[p(i,k) = k\ \text{ se } k<i,\qquad p(i,k) = k-1\ \text{ se } k>i.\] Agora compare as parcelas \((i,k)\) e \((k,i)\), com \(i<k\). Elas têm o mesmo produto \(a_{i1}a_{k1}\) e o mesmo menor \(A_{\{i,k\},\{1,2\}}\). Quanto aos sinais: \[(i,k):\ (-1)^{i+1}(-1)^{(k-1)+1} = (-1)^{i+k-1},
\qquad
(k,i):\ (-1)^{k+1}(-1)^{i+1} = (-1)^{i+k}.\] São opostos. Logo as parcelas se cancelam duas a duas, e \(D_n(A) = 0\).
(4) De vizinhas para quaisquer. De (2) e (3) segue, pelo mesmo cálculo da Proposição 4.3(a) aplicado a duas colunas vizinhas, que trocar duas colunas vizinhas troca o sinal de \(D_n\). Se agora \(C_i = C_j\) com \(i<j\), empurre a coluna \(j\) para a esquerda por trocas de vizinhas sucessivas, até ela ficar ao lado da coluna \(i\): cada troca multiplica \(D_n\) por \(-1\), e a matriz final tem duas colunas vizinhas iguais, logo \(D_n\) nela é \(0\) por (3). Portanto \(D_n(A) = \pm\,0 = 0\).
A construção alternativa. Em (a), a definição recursiva: o determinante de ordem \(n\) é a primeira coluna contra os menores de ordem \(n-1\), com sinais alternados. Em (b), o passo delicado — quando as duas primeiras colunas coincidem, expandir duas vezes produz um termo para cada par ordenado \((i,k)\) com \(i\neq k\), e os dois termos de cada par têm o mesmo produto e sinais opostos. O quadro inteiro se cancela.
Esta construção já entrega o desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna — que é literalmente a definição de \(D_n\). O Teorema 4.20 o estende a uma linha ou coluna qualquer.
