Em \(\R^3\): volume nulo equivale a vetores coplanares
Em \(\R^3\), a leitura é a mesma: três vetores dão um paralelepípedo de volume \(|\det|\), e esse volume é zero exatamente quando os três são coplanares — isto é, LD. É a versão geométrica do Teorema 4.11.
Em \(\R^3\): à esquerda, três vetores em posição geral geram um paralelepípedo genuíno; à direita, três vetores coplanares geram um sólido achatado, de volume nulo. “\(\det A = 0\)” e “as colunas de \(A\) são LD” são a mesma frase, uma dita em álgebra e a outra em geometria.
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\cardtitulo{Em $\R^3$: volume nulo equivale a vetores coplanares}
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\cardrequer{nota-volume, thm-invertivel}
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\begin{cartao}
\emph{Em $\R^3$, a leitura é a mesma:} três vetores dão um
paralelepípedo de volume $|\det|$, e esse volume é zero exatamente quando os três são
coplanares --- isto é, LD. É a versão geométrica do \vejacard{thm-invertivel}.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.92,every node/.style={scale=0.92}]
\begin{scope}
\fill[Fazul!10] (0,0)--(2.2,-0.5)--(3.4,0.5)--(1.2,1.0)--cycle;
\fill[Fazul!16] (0,0)--(2.2,-0.5)--(2.2,1.3)--(0,1.8)--cycle;
\fill[Fazul!8] (2.2,-0.5)--(3.4,0.5)--(3.4,2.3)--(2.2,1.3)--cycle;
\draw[Fazul,line width=0.8pt] (0,0)--(2.2,-0.5)--(3.4,0.5)--(1.2,1.0)--cycle;
\draw[Fazul,line width=0.8pt] (0,0)--(0,1.8)--(2.2,1.3)--(2.2,-0.5);
\draw[Fazul,line width=0.8pt] (2.2,1.3)--(3.4,2.3)--(3.4,0.5);
\draw[Fazul,line width=0.8pt] (0,1.8)--(1.2,2.8)--(3.4,2.3);
\draw[Fazul,dashed,line width=0.5pt] (1.2,1.0)--(1.2,2.8);
\draw[vet,Flaranja] (0,0)--(2.2,-0.5);
\draw[vet,Fverde] (0,0)--(1.2,1.0);
\draw[vet,Frosa] (0,0)--(0,1.8);
\node[cx,anchor=north] at (1.7,-1.1) {$\det\neq0$};
\node[cxs,anchor=north,align=center] at (1.7,-1.55) {volume positivo\\ colunas LI};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(7.4,0.3)}]
\fill[Frosa!10] (-1.0,-0.7)--(2.6,-1.5)--(4.0,0.5)--(0.4,1.3)--cycle;
\draw[Frosa,line width=0.7pt] (-1.0,-0.7)--(2.6,-1.5)--(4.0,0.5)--(0.4,1.3)--cycle;
\draw[vet,Flaranja] (0.6,-0.4)--(2.9,-0.85);
\draw[vet,Fverde] (0.6,-0.4)--(1.7,0.5);
\draw[vet,Frosa] (0.6,-0.4)--(3.0,0.15);
\node[cx,anchor=north] at (1.6,-1.4) {$\det = 0$};
\node[cxs,anchor=north,align=center] at (1.6,-1.85) {os três no mesmo plano\\ colunas LD};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Em $\R^3$: à esquerda, três vetores em posição geral geram um
paralelepípedo genuíno; à direita, três vetores coplanares geram um sólido achatado, de
volume nulo. ``$\det A = 0$'' e ``as colunas de $A$ são LD'' são a mesma frase, uma dita em
álgebra e a outra em geometria.\par}
\end{cartao}