Propriedades das formas \(n\)-lineares alternadas
Seja \(f\) uma forma \(n\)-linear alternada. Então:
trocar duas entradas troca o sinal de \(f\);
somar a uma entrada um múltiplo de outra não altera \(f\);
se \(v_1,\ldots,v_n\) são LD, então \(f(v_1,\ldots,v_n) = 0\).
Na figura da Motivação 4.1: (a) é “trocar a ordem inverte a orientação”; (b) é o cisalhamento; (c) é “achatou, volume zero”.
Demonstração
(a) Fixe \(i\neq j\) e considere a função de duas variáveis obtida congelando as demais. Pela propriedade alternada aplicada ao par \((u+v,\,u+v)\): \[0 = f(\ldots,u+v,\ldots,u+v,\ldots) = \underbrace{f(\ldots,u,\ldots,u,\ldots)}_{=0} + f(\ldots,u,\ldots,v,\ldots)\] \[\qquad\qquad + f(\ldots,v,\ldots,u,\ldots) + \underbrace{f(\ldots,v,\ldots,v,\ldots)}_{=0},\] onde abrimos as duas entradas pela \(n\)-linearidade. Sobra \(f(\ldots,u,\ldots,v,\ldots) = -f(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)\).
(b) Pela \(n\)-linearidade na \(i\)-ésima entrada, \[f(\ldots,v_i+\lambda v_j,\ldots,v_j,\ldots) = f(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots)+\lambda\, \underbrace{f(\ldots,v_j,\ldots,v_j,\ldots)}_{=0\ \text{(alternada)}}.\]
(c) Se os vetores são LD, algum deles é combinação dos outros, digamos \(v_i = \sum_{j\neq i}c_jv_j\). Abrindo a \(i\)-ésima entrada pela \(n\)-linearidade, \[f(v_1,\ldots,v_n) = \sum_{j\neq i}c_j\,f(\ldots,\underbrace{v_j}_{\text{posição }i}, \ldots,\underbrace{v_j}_{\text{posição }j},\ldots) = 0,\] porque cada parcela tem duas entradas iguais.
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\cardtitulo{Propriedades das formas $n$-lineares alternadas}
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\begin{cartao}
\emph{Seja $f$ uma forma $n$-linear alternada. Então:}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{trocar duas entradas troca o sinal de $f$;}
\item \emph{somar a uma entrada um múltiplo de outra não altera $f$;}
\item \emph{se $v_1,\ldots,v_n$ são LD, então $f(v_1,\ldots,v_n) = 0$.}
\end{enumerate}
\noindent Na figura da \vejacard{mot-determinante}: (a) é ``trocar a ordem inverte a
orientação''; (b) é o cisalhamento; (c) é ``achatou, volume zero''.
\begin{demonstracao}
\textbf{(a)} Fixe $i\neq j$ e considere a função de duas variáveis obtida congelando as
demais. Pela propriedade alternada aplicada ao par $(u+v,\,u+v)$:
\[0 = f(\ldots,u+v,\ldots,u+v,\ldots)
= \underbrace{f(\ldots,u,\ldots,u,\ldots)}_{=0}
+ f(\ldots,u,\ldots,v,\ldots)\]
\[\qquad\qquad
+ f(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)
+ \underbrace{f(\ldots,v,\ldots,v,\ldots)}_{=0},\]
onde abrimos as duas entradas pela $n$-linearidade. Sobra
$f(\ldots,u,\ldots,v,\ldots) = -f(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)$.
\textbf{(b)} Pela $n$-linearidade na $i$-ésima entrada,
\[f(\ldots,v_i+\lambda v_j,\ldots,v_j,\ldots)
= f(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots)+\lambda\,
\underbrace{f(\ldots,v_j,\ldots,v_j,\ldots)}_{=0\ \text{(alternada)}}.\]
\textbf{(c)} Se os vetores são LD, algum deles é combinação dos outros, digamos
$v_i = \sum_{j\neq i}c_jv_j$. Abrindo a $i$-ésima entrada pela $n$-linearidade,
\[f(v_1,\ldots,v_n) = \sum_{j\neq i}c_j\,f(\ldots,\underbrace{v_j}_{\text{posição }i},
\ldots,\underbrace{v_j}_{\text{posição }j},\ldots) = 0,\]
porque cada parcela tem duas entradas iguais.
\end{demonstracao}
\end{cartao}