Inversa por escalonamento
Uma matriz \(A\in\Mat{n}{n}\) é invertível se e somente se a sua forma escada reduzida é \(I_n\). Nesse caso, aplicando a \([\,A\mid I_n\,]\) as operações que levam \(A\) a \(I_n\), obtém-se \([\,I_n\mid A^{-1}\,]\).
Demonstração
\(A\) é invertível \(\iff T_A\) é isomorfismo (Corolário 3.10) \(\iff N(A) = \{0\}\) e \(\posto A = n\) \(\iff\) há \(n\) pivôs numa matriz \(n\times n\) \(\iff\) a forma escada reduzida é \(I_n\).
Para a segunda parte: se \(E_k\cdots E_1A = I\), então \(E_k\cdots E_1 = A^{-1}\); e aplicar as mesmas operações a \(I\) produz \(E_k\cdots E_1 I = A^{-1}\). Fazer as duas coisas ao mesmo tempo é justamente escalonar \([\,A\mid I\,]\).
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\cardtitulo{Inversa por escalonamento}
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\cardrequer{def-escada}
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\begin{cartao}
Uma matriz $A\in\Mat{n}{n}$ é
invertível se e somente se a sua forma escada reduzida é $I_n$. Nesse caso, aplicando a
$[\,A\mid I_n\,]$ as operações que levam $A$ a $I_n$, obtém-se $[\,I_n\mid A^{-1}\,]$.
\begin{demonstracao}
$A$ é invertível $\iff T_A$ é isomorfismo (\vejacard{cor-inv}) $\iff N(A) = \{0\}$ e $\posto A = n$
$\iff$ há $n$ pivôs numa matriz $n\times n$ $\iff$ a forma escada reduzida é $I_n$.
Para a segunda parte: se $E_k\cdots E_1A = I$, então $E_k\cdots E_1 = A^{-1}$; e aplicar as
mesmas operações a $I$ produz $E_k\cdots E_1 I = A^{-1}$. Fazer as duas coisas ao mesmo
tempo é justamente escalonar $[\,A\mid I\,]$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}