O determinante é volume com sinal
O determinante é volume com sinal. Em \(\R^2\), seja \(\mathcal{A}(v_1,v_2)\) a área do paralelogramo gerado por \(v_1\) e \(v_2\), tomada com sinal positivo quando o giro de \(v_1\) para \(v_2\) é anti-horário. Essa função é bilinear, alternada, e vale \(1\) em \((e_1,e_2)\) — as três propriedades da figura da Motivação 4.1. Pelo Teorema 4.5, ela é o determinante: \[\det\,(v_1\ v_2) = \pm\,\text{área do paralelogramo}.\] O mesmo argumento em \(\R^3\) dá o volume do paralelepípedo, e em \(\R^n\) serve como definição de volume \(n\)-dimensional. O sinal é a orientação: positivo quando a base \((v_1,\ldots,v_n)\) “gira no mesmo sentido” que a canônica.
O sinal do determinante é a orientação. Trocar as duas colunas inverte o sentido do giro e o sinal — que é a Proposição 4.3(a) vista com os olhos. E o determinante se anula exatamente quando o paralelogramo achata, isto é, quando as colunas são LD (Teorema 4.11).
Em movimento: The determinant — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\begin{cartao}
\emph{O determinante é volume com sinal.} Em $\R^2$,
seja $\mathcal{A}(v_1,v_2)$ a área do paralelogramo gerado por $v_1$ e $v_2$, tomada com
sinal positivo quando o giro de $v_1$ para $v_2$ é anti-horário. Essa função é bilinear,
alternada, e vale $1$ em $(e_1,e_2)$ --- as três propriedades da figura da \vejacard{mot-determinante}.
Pelo \vejacard{thm-unico}, ela \emph{é} o determinante:
\[\det\,(v_1\ v_2) = \pm\,\text{área do paralelogramo}.\]
O mesmo argumento em $\R^3$ dá o volume do paralelepípedo, e em $\R^n$ serve como
\emph{definição} de volume $n$-dimensional. O sinal é a \textbf{orientação}: positivo
quando a base $(v_1,\ldots,v_n)$ ``gira no mesmo sentido'' que a canônica.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,every node/.style={scale=0.9}]
\begin{scope}
\fill[Fverde!15] (0,0)--(2.4,0.5)--(3.0,2.0)--(0.6,1.5)--cycle;
\draw[Fverde,line width=0.8pt] (0,0)--(2.4,0.5)--(3.0,2.0)--(0.6,1.5)--cycle;
\draw[vet,Flaranja] (0,0)--(2.4,0.5);
\draw[vet,Fazul] (0,0)--(0.6,1.5);
\node[cxs,Flaranja,anchor=north] at (2.0,0.35) {$v_1$};
\node[cxs,Fazul,anchor=east] at (0.5,1.3) {$v_2$};
\draw[fseta,Fverde] (1.15,0.24) arc (12:68:1.2);
\node[cx,Fverde,anchor=north] at (1.5,-0.6) {$\det>0$};
\node[cxs,anchor=north] at (1.5,-1.05) {giro anti-horário};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(6.4,0)}]
\fill[Frosa!12] (0,0)--(0.6,1.5)--(3.0,2.0)--(2.4,0.5)--cycle;
\draw[Frosa,line width=0.8pt] (0,0)--(0.6,1.5)--(3.0,2.0)--(2.4,0.5)--cycle;
\draw[vet,Flaranja] (0,0)--(0.6,1.5);
\draw[vet,Fazul] (0,0)--(2.4,0.5);
\node[cxs,Flaranja,anchor=east] at (0.5,1.3) {$v_1$};
\node[cxs,Fazul,anchor=north] at (2.0,0.35) {$v_2$};
\draw[fseta,Frosa] (0.42,1.05) arc (68:12:1.2);
\node[cx,Frosa,anchor=north] at (1.5,-0.6) {$\det<0$};
\node[cxs,anchor=north] at (1.5,-1.05) {giro horário};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(12.0,0)}]
\draw[vet,Flaranja] (0,0)--(2.6,1.0);
\draw[vet,Fazul,dashed] (0,0)--(1.6,0.615);
\node[cxs,Flaranja,anchor=south] at (2.2,0.85) {$v_1$};
\node[cxs,Fazul,anchor=north] at (1.3,0.42) {$v_2$};
\node[cx,anchor=north] at (1.3,-0.6) {$\det = 0$};
\node[cxs,anchor=north] at (1.3,-1.05) {colineares};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O sinal do determinante é a orientação. Trocar as duas colunas
inverte o sentido do giro e o sinal --- que é a \vejacard{prop-props}(a) vista com os
olhos. E o determinante se anula exatamente quando o paralelogramo achata, isto é, quando
as colunas são LD (\vejacard{thm-invertivel}).\par}
\end{cartao}