Uma lista é LD quando algum vetor é combinação dos demais

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\cardid{prop-ld}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Uma lista é LD quando algum vetor é combinação dos demais}
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\cardautor{}

\cardrequer{def-li, def-gerado}
\cardrequerdem{}
\cardveja{thm-compl, thm-minmax}

\begin{cartao}

\emph{Seja $k\geq2$.}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{$v_1,\ldots,v_k$ são LD se e somente se algum $v_j$ é combinação linear dos
demais.}
\item \emph{Se $v_1,\ldots,v_k$ são LI e $v_1,\ldots,v_k,u$ são LD, então
$u\in[v_1,\ldots,v_k]$.}
\end{enumerate}

\noindent O item (b) é o que vai ser usado, e vale dizer por quê com uma frase: \emph{se a lista
era LI e deixou de ser quando $u$ entrou, a culpa é de $u$}. Esse raciocínio aparece no
\vejacard{thm-compl} e na demonstração de que LI maximal gera (\vejacard{thm-minmax}).

\begin{demonstracao}

(a) Se $\sum_ia_iv_i = 0$ com $a_j\neq0$, isolamos
$v_j = -\sum_{i\neq j}\frac{a_i}{a_j}v_i$. Reciprocamente, se
$v_j = \sum_{i\neq j}b_iv_i$, então $\sum_{i\neq j}b_iv_i-1\cdot v_j = 0$ é uma combinação
nula com o coeficiente $-1\neq0$.

(b) Existe $\sum_ia_iv_i+cu = 0$ com coeficientes não todos nulos. Se fosse $c = 0$, sobraria
$\sum_ia_iv_i = 0$ com algum $a_i\neq0$, contra a independência dos $v_i$. Logo $c\neq0$ e
$u = -\sum_i\frac{a_i}{c}v_i$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}