A matriz de uma transformação linear e mudança de base

A derivada em \(\Pol{3}\). Com \(B = C = (1,x,x^2,x^3)\), temos \(D(1)=0\), \(D(x)=1\), \(D(x^2)=2x\), \(D(x^3)=3x^2\), logo \[[D]_{BB} = \begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&3\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}.\] Agora troque a base para \(B' = \big(1,\ x,\ \tfrac{x^2}{2},\ \tfrac{x^3}{6}\big)\): como \(D\big(\tfrac{x^k}{k!}\big) = \tfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}\), a matriz vira \[[D]_{B'B'} = \begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}.\] O mesmo operador, duas matrizes. A segunda é claramente mais simples — e escolher bem a base para simplificar a matriz é, em uma frase, o assunto de metade do curso.

A identidade. \([\,\mathrm{Id}\,]_{BB} = I_n\) para qualquer base \(B\). Mas \([\,\mathrm{Id}\,]_{CB}\) com \(C\neq B\) não é a identidade — é a matriz de mudança de base (Definição 3.12).

Uma transformação entre espaços diferentes. Seja \(T:\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\to \Pol{3}\), \[\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\longmapsto (a+d)+(a+b+c)x+(b+c+d)x^2+ax^3.\] Nas bases \(\widetilde E = (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\) e \(\widetilde F = (1,x,x^2,x^3)\), cada coluna sai avaliando \(T\) numa \(E_{ij}\): \(T(E_{11}) = 1+x+x^3\), \(T(E_{12}) = x+x^2\), \(T(E_{21}) = x+x^2\), \(T(E_{22}) = 1+x^2\), e portanto \[[T]_{\widetilde F\widetilde E} = \begin{pmatrix} 1&0&0&1\\ 1&1&1&0\\ 0&1&1&1\\ 1&0&0&0\end{pmatrix}.\] Repare que as colunas \(2\) e \(3\) são iguais: já se lê daí que \(T\) não é injetora, e que \(E_{12}-E_{21}\in \Nuc(T)\).

É um primeiro exemplo de “ler a transformação na matriz”.

Rotações, e as fórmulas de adição de graça. Seja \(T_\theta:\R^2\to\R^2\) a rotação de ângulo \(\theta\). Na base canônica, \[[T_\theta] = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix},\] porque a primeira coluna é a imagem de \(e_1\) e a segunda a de \(e_2\). Como \(T_\theta\circ T_\varphi = T_{\theta+\varphi}\), o Teorema 3.7 dá \[\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sen\varphi\\ \sen\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\theta+\varphi) & -\sen(\theta+\varphi)\\ \sen(\theta+\varphi) & \cos(\theta+\varphi)\end{pmatrix},\] e comparando a primeira coluna dos dois lados saem \[\cos(\theta+\varphi) = \cos\theta\cos\varphi-\sen\theta\sen\varphi,\qquad \sen(\theta+\varphi) = \sen\theta\cos\varphi+\cos\theta\sen\varphi.\]

Em \(\Pol{2}\), sejam \[B = (1,\ t,\ t^2)\qquad\text{e}\qquad B' = (1+t,\ t+t^2,\ 1+t^2).\]

(i) \(B'\) é base e a matriz de mudança. As coordenadas dos vetores de \(B'\) na base \(B\) são \((1,1,0)\), \((0,1,1)\) e \((1,0,1)\), logo \[P = [I]_{BB'} = \begin{pmatrix}1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}.\] Esses três vetores são LI — de \(a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1) = 0\) vem \(a+c=0\), \(a+b=0\) e \(b+c=0\), donde \(a=b=c=0\) —, logo \(B'\) é base pelo item (b) do Corolário 2.81. A matriz \(P\) é invertível pela Proposição 3.13, e um cálculo direto dá \[P^{-1} = [I]_{B'B} = \frac12\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1&1&1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}.\]

(ii) Coordenadas. Para \(p = 1+2t+3t^2\), temos \([p]_B = (1,2,3)\) e \[[p]_{B'} = P^{-1}[p]_B = \tfrac12(1+2-3,\ -1+2+3,\ 1-2+3) = (0,\,2,\,1),\] o que se confere: \(2(t+t^2)+(1+t^2) = 1+2t+3t^2\).

(iii) Um operador nas duas bases. Tome \(D(p) = p'\). Então \[[D]_{BB} = \begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0\end{pmatrix},\qquad [D]_{B'B'} = P^{-1}[D]_{BB}P = \frac12\begin{pmatrix}1&3&2\\ -1&1&2\\ 1&-1&-2\end{pmatrix}.\] Confira uma coluna diretamente, que é o que convence: \(D(1+t) = 1\), e \(1 = \tfrac12(1+t)-\tfrac12(t+t^2)+\tfrac12(1+t^2)\), isto é \([D(1+t)]_{B'} = \tfrac12(1,-1,1)\) — que é exatamente a primeira coluna.