Por que o produto de matrizes é definido assim
O Teorema 3.7 não é um fato sobre matrizes: é a razão de o produto de matrizes ser definido daquele jeito estranho, com linhas contra colunas. A definição de produto foi escolhida para que a composição de transformações lineares corresponda a ele. O produto de matrizes não é uma convenção arbitrária.
Dois quadrados colados. Percorrer o caminho de cima e descer é o mesmo que descer e percorrer o de baixo — e é só isso que o teorema diz. A seta verde de baixo é o produto de matrizes; a de cima é a composição.
Em movimento: Matrix multiplication as composition — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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O \vejacard{thm-comp} não é um fato sobre matrizes: é a
\emph{razão} de o produto de matrizes ser definido daquele jeito estranho, com linhas
contra colunas. A definição de produto foi escolhida para que a composição de
transformações lineares corresponda a ele. O produto de matrizes não é uma convenção
arbitrária.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[cx] (V) at (0,2.1) {$V$};
\node[cx] (W) at (3.0,2.1) {$W$};
\node[cx] (U) at (6.0,2.1) {$U$};
\node[cx] (Rn) at (0,0) {$\R^n$};
\node[cx] (Rm) at (3.0,0) {$\R^m$};
\node[cx] (Rp) at (6.0,0) {$\R^p$};
\draw[fseta] (V)--(W) node[midway,above,cxs] {$T$};
\draw[fseta] (W)--(U) node[midway,above,cxs] {$S$};
\draw[fseta,Fazul] (V)--(Rn) node[midway,left,cxs] {$\varphi_B$};
\draw[fseta,Fazul] (W)--(Rm) node[midway,left,cxs] {$\varphi_C$};
\draw[fseta,Fazul] (U)--(Rp) node[midway,right,cxs] {$\varphi_D$};
\draw[fseta,Frosa] (Rn)--(Rm) node[midway,below,cxs] {$[T]_{CB}$};
\draw[fseta,Frosa] (Rm)--(Rp) node[midway,below,cxs] {$[S]_{DC}$};
\draw[fseta,Fverde] (0.28,2.62) .. controls (3.0,3.5) .. (5.72,2.62);
\node[cxs,Fverde] at (3.0,3.42) {$S\circ T$};
\draw[fseta,Fverde] (0.28,-0.62) .. controls (3.0,-1.5) .. (5.72,-0.62);
\node[cxs,Fverde] at (3.0,-1.42) {$[S]_{DC}[T]_{CB}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Dois quadrados colados. Percorrer o caminho de cima e descer é o
mesmo que descer e percorrer o de baixo --- e é só isso que o teorema diz.
A seta verde de baixo é o produto de matrizes; a de cima é a composição.\par}
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