\(T\) é isomorfismo se e somente se a sua matriz é invertível
\(T:V\to W\) é isomorfismo se e somente se \([T]_{CB}\) é invertível; e nesse caso \([T^{-1}]_{BC} = \big([T]_{CB}\big)^{-1}\).
Demonstração
Se \(T\) é isomorfismo, de \(T^{-1}\circ T = \mathrm{Id}_V\) e \(T\circ T^{-1} = \mathrm{Id}_W\) e do Teorema 3.7 vem \[[T^{-1}]_{BC}[T]_{CB} = I_n\qquad\text{e}\qquad [T]_{CB}[T^{-1}]_{BC} = I_m,\] o que já dá tudo. Reciprocamente, se \([T]_{CB}\) é invertível, seja \(S\) a transformação com \([S]_{BC} = ([T]_{CB})^{-1}\), que existe pela Proposição 3.9; então \([S\circ T]_{BB} = I\) e \([T\circ S]_{CC} = I\), e pela injetividade de \(\Psi\) concluímos \(S\circ T = \mathrm{Id}\) e \(T\circ S = \mathrm{Id}\).
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\cardtitulo{$T$ é isomorfismo se e somente se a sua matriz é invertível}
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\cardrequerdem{thm-comp, prop-matriz-de-transformacao-e-isomorfismo}
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\begin{cartao}
$T:V\to W$ é isomorfismo se e somente se $[T]_{CB}$ é
invertível; e nesse caso $[T^{-1}]_{BC} = \big([T]_{CB}\big)^{-1}$.
\begin{demonstracao}
Se $T$ é isomorfismo, de $T^{-1}\circ T = \mathrm{Id}_V$ e $T\circ T^{-1} = \mathrm{Id}_W$
e do \vejacard{thm-comp} vem
\[[T^{-1}]_{BC}[T]_{CB} = I_n\qquad\text{e}\qquad [T]_{CB}[T^{-1}]_{BC} = I_m,\]
o que já dá tudo. Reciprocamente, se $[T]_{CB}$ é invertível, seja $S$ a transformação com
$[S]_{BC} = ([T]_{CB})^{-1}$, que existe pela \vejacard{prop-matriz-de-transformacao-e-isomorfismo}; então
$[S\circ T]_{BB} = I$ e $[T\circ S]_{CC} = I$, e pela injetividade de $\Psi$ concluímos
$S\circ T = \mathrm{Id}$ e $T\circ S = \mathrm{Id}$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}