As coordenadas dão um isomorfismo com \(\R^n\)
Se \(B\) é base de \(V\) com \(n\) elementos, então \[\varphi_B : V\longrightarrow\R^n,\qquad \varphi_B(v) = [v]_B\] é um isomorfismo.
Demonstração
Boa definição: é exatamente a unicidade da Proposição 2.65.
Linearidade: se \(v = \sum_ia_iv_i\) e \(w = \sum_ib_iv_i\), então \[v+\lambda w = \sum_i(a_i+\lambda b_i)v_i,\] e, de novo pela unicidade, essa é a escrita de \(v+\lambda w\). Logo \([v+\lambda w]_B = [v]_B+\lambda[w]_B\).
Sobrejetividade: dado \((a_1,\ldots,a_n)\in\R^n\), o vetor \(v = \sum_ia_iv_i\) satisfaz \([v]_B = (a_1,\ldots,a_n)\).
Injetividade: se \([v]_B = 0\), então \(v = \sum_i0\,v_i = 0\).
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\cardtitulo{As coordenadas dão um isomorfismo com $\R^n$}
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\begin{cartao}
\emph{Se $B$ é base de $V$ com $n$ elementos, então}
\[\varphi_B : V\longrightarrow\R^n,\qquad \varphi_B(v) = [v]_B\]
\emph{é um isomorfismo.}
\begin{demonstracao}
\emph{Boa definição:} é exatamente a unicidade da \vejacard{prop-unica}.
\emph{Linearidade:} se $v = \sum_ia_iv_i$ e $w = \sum_ib_iv_i$, então
\[v+\lambda w = \sum_i(a_i+\lambda b_i)v_i,\]
e, de novo pela unicidade, essa é \emph{a} escrita de $v+\lambda w$. Logo
$[v+\lambda w]_B = [v]_B+\lambda[w]_B$.
\emph{Sobrejetividade:} dado $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$, o vetor $v = \sum_ia_iv_i$
satisfaz $[v]_B = (a_1,\ldots,a_n)$.
\emph{Injetividade:} se $[v]_B = 0$, então $v = \sum_i0\,v_i = 0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}