Proposição 3.3

$[T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B$

RequerDefinição 3.2Matriz de uma transformação linear

A demonstração exigeProposição 2.67As coordenadas dão um isomorfismo com $\R^n$

Com a notação da Definição 3.2, vale \[[T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B\qquad\text{para todo } v\in V,\] e $[T]_{CB}$ é a única matriz com essa propriedade.

Como se monta a matriz, na prática. Uma coluna de cada vez, e cada coluna é uma conta de coordenadas na base de chegada. Os erros de sinal ou de transposição vêm, em geral, de esquecer que a conta é feita em $C$, não em $B$.

A leitura da unicidade: multiplicar por $e_j$ lê a $j$-ésima coluna. É a razão de a definição ser “por colunas”.

Demonstração

Escreva $v = \sum_j x_jv_j$, isto é, $[v]_B = (x_1,\ldots,x_n)$. Pela linearidade de $T$ e de $[\ \cdot\ ]_C$, \[[T(v)]_C = \Big[\sum_j x_jT(v_j)\Big]_C = \sum_j x_j\,[T(v_j)]_C = \sum_j x_j\cdot(\text{$j$-ésima coluna de } [T]_{CB}) = [T]_{CB}\,[v]_B,\] onde a última igualdade é a definição de produto matriz-vetor.

Unicidade: se $M$ satisfaz $[T(v)]_C = M[v]_B$ para todo $v$, tome $v = v_j$. Como $[v_j]_B = e_j$, o produto $Me_j$ é a $j$-ésima coluna de $M$; logo essa coluna é $[T(v_j)]_C$, e $M = [T]_{CB}$.

Usado em demonstrações deProposição 3.13Mudança de coordenadas Teorema 3.7A matriz da composta é o produto das matrizes

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\cardtitulo{$[T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B$}
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\begin{cartao}

\emph{Com a notação da \vejacard{def-matriz}, vale}
\[[T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B\qquad\text{para todo } v\in V,\]
\emph{e $[T]_{CB}$ é a única matriz com essa propriedade.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\draw[line width=0.9pt] (0.15,-0.15) -- (-0.1,-0.15) -- (-0.1,2.15) -- (0.15,2.15);
\draw[line width=0.9pt] (3.05,-0.15) -- (3.3,-0.15) -- (3.3,2.15) -- (3.05,2.15);
\fill[Fazul!14] (1.35,-0.1) rectangle (2.05,2.1);
\draw[Fazul,line width=0.8pt] (1.35,-0.1) rectangle (2.05,2.1);
\foreach \y in {1.75,1.25,0.75,0.25}{
  \node[cxs,Fcinza] at (0.35,\y) {$\ast$};
  \node[cxs,Fcinza] at (0.85,\y) {$\ast$};
  \node[cxs,Fcinza] at (2.45,\y) {$\ast$};
  \node[cxs,Fcinza] at (2.95,\y) {$\ast$};}
\node[cxs,Fazul,rotate=90] at (1.7,1.0) {$[\,T(v_j)\,]_C$};
\node[cxs,anchor=south] at (1.7,2.25) {coluna $j$};
\node[cxs,anchor=north] at (1.6,-0.35) {$[T]_{CB}$};
\draw[fseta,Frosa] (4.9,1.0)--(3.55,1.0);
\node[cxs,Frosa,anchor=west,align=left] at (5.0,1.0)
 {aplique $T$ ao $j$-ésimo vetor de $B$\\ e escreva o resultado na base $C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

{\footnotesize\itshape Como se monta a matriz, na prática. Uma coluna de cada vez, e
cada coluna é uma conta de coordenadas na base de \emph{chegada}. Os erros de sinal ou de
transposição vêm, em geral, de esquecer que a conta é feita em $C$, não em $B$.\par}

\noindent A leitura da unicidade: \emph{multiplicar por $e_j$ lê a $j$-ésima coluna}. É a razão
de a definição ser ``por colunas''.

\begin{demonstracao}

Escreva $v = \sum_j x_jv_j$, isto é, $[v]_B = (x_1,\ldots,x_n)$. Pela linearidade de $T$ e
de $[\ \cdot\ ]_C$,
\[[T(v)]_C = \Big[\sum_j x_jT(v_j)\Big]_C = \sum_j x_j\,[T(v_j)]_C
= \sum_j x_j\cdot(\text{$j$-ésima coluna de } [T]_{CB}) = [T]_{CB}\,[v]_B,\]
onde a última igualdade é a definição de produto matriz-vetor.

\emph{Unicidade:} se $M$ satisfaz $[T(v)]_C = M[v]_B$ para todo $v$, tome $v = v_j$. Como
$[v_j]_B = e_j$, o produto $Me_j$ é a $j$-ésima coluna de $M$; logo essa coluna é
$[T(v_j)]_C$, e $M = [T]_{CB}$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}

\([T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B\)

Vizinhança no grafo