Não existe espaço vetorial com dois elementos
Não existe espaço vetorial real com exatamente dois elementos. Mais do que isso: um espaço vetorial \(V\neq\{0\}\) tem infinitos elementos.
Demonstração
Tome \(v\neq0\) em \(V\). Se \(\lambda v = \mu v\), então \((\lambda-\mu)v = \lambda v-\mu v = 0\), e o Corolário 1.8 dá \(\lambda = \mu\). Logo \(\lambda\mapsto\lambda v\) é injetora de \(\R\) em \(V\), e \(V\) contém uma cópia de \(\R\).
prop-dois · ver o LaTeX · sugerir uma correção
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{prop-dois}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Não existe espaço vetorial com dois elementos}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-espaco-vetorial}
\cardrequerdem{cor-lv}
\cardveja{}
\begin{cartao}
\emph{Não existe
espaço vetorial real com exatamente dois elementos.} Mais do que isso: um espaço vetorial
$V\neq\{0\}$ tem infinitos elementos.
\begin{demonstracao}
Tome $v\neq0$ em $V$. Se $\lambda v = \mu v$,
então $(\lambda-\mu)v = \lambda v-\mu v = 0$, e o \vejacard{cor-lv} dá $\lambda = \mu$.
Logo $\lambda\mapsto\lambda v$ é injetora de $\R$ em $V$, e $V$ contém uma cópia de $\R$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}