Unicidade do vetor nulo e do simétrico

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\cardid{prop-unicidade-do-nulo-e-do-simetrico}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Unicidade do vetor nulo e do simétrico}
\cardtags{}
\cardautor{}

\cardrequer{def-espaco-vetorial}
\cardrequerdem{lem-cancel}
\cardveja{}

\begin{cartao}

\emph{O vetor nulo é único, e cada vetor tem um único
simétrico.}

\noindent A partir de agora o simétrico de $v$ é denotado $-v$, e escrevemos $u-v$ para
$u+(-v)$. Esta proposição é o que autoriza essa notação: um símbolo só
pode designar um objeto se o objeto for único.

\begin{demonstracao}

Se $0$ e $0'$ satisfazem (A3), então
\[0' \overset{\text{(A3) para }0}{=} 0'+0 \overset{\text{(A2)}}{=} 0+0'
\overset{\text{(A3) para }0'}{=} 0.\]
Se $w$ e $w'$ são simétricos de $v$, então $v+w = 0 = v+w'$, isto é, $w+v = w'+v$ por
(A2), e o \vejacard{lem-cancel} dá $w = w'$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}