Critério de subespaço
Se \(S\) é subespaço de \(V\), então \(S\), com a soma e o produto por escalar de \(V\) restritos a \(S\), é um espaço vetorial. Além disso, as condições (ii) e (iii) juntas equivalem a: \(u+\lambda v\in S\) para todos \(u,v\in S\), \(\lambda\in\R\).
Demonstração
Por (ii) e (iii), as operações de \(V\) restritas a \(S\) têm valores em \(S\). Os axiomas (A1), (A2), (M1), (M2), (D1), (D2) são igualdades que valem para todos os vetores de \(V\), logo em particular para os de \(S\). (A3): o vetor nulo de \(V\) está em \(S\) por (i). (A4): se \(v\in S\), então \(-v = (-1)v\in S\) por (iii) e pelo item (c) da Proposição 1.7.
Para a segunda afirmação: se (ii) e (iii) valem, \(\lambda v\in S\) e então \(u+\lambda v\in S\). Reciprocamente, \(\lambda = 1\) dá (ii) e \(u = 0\) dá (iii) (usando (i)).
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\begin{cartao}
Se $S$ é subespaço de $V$, então $S$, com a soma e o
produto por escalar de $V$ restritos a $S$, é um espaço vetorial. Além disso, as condições
(ii) e (iii) juntas equivalem a: $u+\lambda v\in S$ para todos $u,v\in S$, $\lambda\in\R$.
\begin{demonstracao}
Por (ii) e (iii), as operações de $V$ restritas a $S$ têm valores em $S$. Os axiomas (A1),
(A2), (M1), (M2), (D1), (D2) são igualdades que valem para todos os vetores de $V$, logo em
particular para os de $S$. (A3): o vetor nulo de $V$ está em $S$ por (i). (A4): se $v\in S$,
então $-v = (-1)v\in S$ por (iii) e pelo item (c) da \vejacard{prop-zeros}.
Para a segunda afirmação: se (ii) e (iii) valem, $\lambda v\in S$ e então
$u+\lambda v\in S$. Reciprocamente, $\lambda = 1$ dá (ii) e $u = 0$ dá (iii) (usando (i)).
\end{demonstracao}
\end{cartao}