Espaços quocientes e teoremas de isomorfismo

As operações \[(u+S)+(v+S) = (u+v)+S,\qquad \lambda(v+S) = \lambda v+S\] estão bem definidas e fazem de \(V/S\) um espaço vetorial, com vetor nulo \(0+S = S\). A projeção \(\pi:V\to V/S\), \(\pi(v) = v+S\), é linear, sobrejetora, e \(N(\pi) = S\).

\(\R^2\) módulo uma reta \(S\) (verde). As classes são as retas paralelas a \(S\); \(u\) e \(u'\) estão na mesma classe (azul), \(v\) e \(v'\) em outra (laranja). Um elemento de \(V/S\) é uma reta inteira, e não um ponto. A classe nula é a própria \(S\).

Na figura: somando \(u+v\) e \(u'+v'\), os dois pontos caem na mesma paralela. Isso é a boa definição. E que dimensão tem o conjunto das paralelas? Uma paralela fica determinada pelo ponto em que corta uma reta transversal fixa, logo \(V/S\) “parece” uma reta. A Proposição 5.42 confirma.

Seja \((v_1,\ldots,v_k)\) base de \(S\), completada a uma base \((v_1,\ldots,v_n)\) de \(V\). Então \((\bar v_{k+1},\ldots,\bar v_n)\) é base de \(V/S\). Em particular, \[\dim V/S = \dim V-\dim S.\]

A demonstração não usa o teorema do núcleo e da imagem — e isso importa, porque o Corolário 5.49 deduz esse teorema do quociente, e não queremos círculo.

Se \(V = S\oplus S'\), então \(\pi|_{S'}:S'\to V/S\) é um isomorfismo.

Todo complementar de \(S\) é isomorfo a \(V/S\); o quociente é “o complementar que não depende de escolha”. Em termos da figura da Proposição 5.41: cada transversal corta cada paralela uma vez, e qualquer transversal serve para parametrizar as paralelas.

A transposta \(\pi^*:(V/S)^*\to V^*\) é injetora e sua imagem é \(S^0\). Portanto \((V/S)^*\iso S^0\), sem escolha nenhuma.

Em uma frase: quem mata \(S\) no domínio corresponde a quem mora em \(S^0\) no dual. Um funcional no quociente é o mesmo que um funcional em \(V\) que não vê \(S\). As dimensões conferem: \(n-k\) dos dois lados.

Seja \(T:V\to V\) linear com \(T(S)\subset S\). Então existe um único operador \(\bar T:V/S\to V/S\) com \(\bar T\circ\pi = \pi\circ T\), a saber \(\bar T(v+S) = T(v)+S\). Se \((v_1,\ldots,v_k)\) é base de \(S\) e \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) a completa, então \[[T]_B = \begin{pmatrix}A&\ast\\0&C\end{pmatrix},\qquad A = [T|_S]_{(v_1,\ldots,v_k)},\quad C = [\bar T]_{(\bar v_{k+1},\ldots,\bar v_n)}.\]

A matriz de \(T\) numa base adaptada a um subespaço invariante. O quociente é o que dá sentido intrínseco ao bloco de baixo: ele não depende de como se completou a base de \(S\), a menos de mudança de base em \(V/S\).

Pelo determinante de matriz triangular por blocos (Proposição 4.28), \(\det(T-\lambda I) = \det(A-\lambda I)\det(C-\lambda I)\). Isto é, o polinômio característico de \(T\) (Definição 8.10) é o produto do de \(T|_S\) pelo de \(\bar T\). Exemplo mínimo: \(T(x,y) = (x+y,y)\) em \(\R^2\) com \(S\) o eixo \(x\): \([T] = \left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\), \(T|_S = 1\) e \(\bar T = 1\).