Corolário 5.54

Segundo teorema do isomorfismo

RequerProposição 5.41\(V/S\) é um espaço vetorial; a projeção \(\pi\)Definição 2.19Soma de subespaços

A demonstração exigeTeorema 5.48Teorema do isomorfismo: \(V/\Nuc(T)\iso\Ima(T)\)Proposição 5.42Dimensão do quociente: \(\dim V/S = \dim V-\dim S\)

Para subespaços \(S_1,S_2\subset V\), \((S_1+S_2)/S_2\iso S_1/(S_1\cap S_2)\). Em particular, \(\dim(S_1+S_2) = \dim S_1+\dim S_2-\dim(S_1\cap S_2)\).

Demonstração

Seja \(T:S_1\to(S_1+S_2)/S_2\), \(T(s_1) = s_1+S_2\). É sobrejetora: \((s_1+s_2)+S_2 = s_1+S_2\). Seu núcleo é \(S_1\cap S_2\). Aplique o Teorema 5.48 e conte dimensões com a Proposição 5.42.

Veja tambémTeorema 2.85Dimensão da soma de dois subespaços

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\cardrequer{prop-oper, def-soma}
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\begin{cartao}

Para subespaços $S_1,S_2\subset V$, $(S_1+S_2)/S_2\iso S_1/(S_1\cap S_2)$. Em
particular, $\dim(S_1+S_2) = \dim S_1+\dim S_2-\dim(S_1\cap S_2)$.

\begin{demonstracao}

Seja $T:S_1\to(S_1+S_2)/S_2$, $T(s_1) = s_1+S_2$. É sobrejetora: $(s_1+s_2)+S_2 = s_1+S_2$.
Seu núcleo é $S_1\cap S_2$. Aplique o \vejacard{thm-iso} e conte dimensões com a
\vejacard{prop-dimq}.

\end{demonstracao}

\end{cartao}

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