Congruência módulo \(S\) é uma relação de equivalência
\(\sim\) é uma relação de equivalência, e \(u+S = v+S\) se e somente se \(u-v\in S\). Em particular, \(v+S = S\) se e somente se \(v\in S\).
Demonstração
\(v-v = 0\in S\); se \(u-v\in S\) então \(v-u = -(u-v)\in S\); se \(u-v,v-w\in S\) então \(u-w = (u-v)+(v-w)\in S\). Se \(u-v\in S\), então \(u+s = v+\big((u-v)+s\big)\in v+S\) para todo \(s\in S\), logo \(u+S\subset v+S\), e por simetria vale a igualdade. Se \(u+S = v+S\), então \(u = u+0\in v+S\), isto é, \(u-v\in S\).
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\cardtitulo{Congruência módulo $S$ é uma relação de equivalência}
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\begin{cartao}
$\sim$ é uma relação de equivalência, e $u+S = v+S$ se e
somente se $u-v\in S$. Em particular, $v+S = S$ se e somente se $v\in S$.
\begin{demonstracao}
$v-v = 0\in S$; se $u-v\in S$ então $v-u = -(u-v)\in S$; se $u-v,v-w\in S$ então
$u-w = (u-v)+(v-w)\in S$. Se $u-v\in S$, então $u+s = v+\big((u-v)+s\big)\in v+S$ para todo
$s\in S$, logo $u+S\subset v+S$, e por simetria vale a igualdade. Se $u+S = v+S$, então
$u = u+0\in v+S$, isto é, $u-v\in S$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}