Todo complementar de \(S\) é isomorfo a \(V/S\)
Se \(V = S\oplus S'\), então \(\pi|_{S'}:S'\to V/S\) é um isomorfismo.
Todo complementar de \(S\) é isomorfo a \(V/S\); o quociente é “o complementar que não depende de escolha”. Em termos da figura da Proposição 5.41: cada transversal corta cada paralela uma vez, e qualquer transversal serve para parametrizar as paralelas.
Demonstração
É o Teorema 5.48 aplicado à projeção \(P:V\to S'\) ao longo de \(S\) (Proposição 2.33), que tem núcleo \(S\) e imagem \(S'\) — ou, diretamente: \(\pi(s') = 0\iff s'\in S\cap S' = \{0\}\), e todo \(v = s+s'\) tem \(\pi(v) = \pi(s')\).
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\cardtitulo{Todo complementar de $S$ é isomorfo a $V/S$}
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\cardrequer{def-direta, prop-oper, def-iso}
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\begin{cartao}
\emph{Se $V = S\oplus S'$, então
$\pi|_{S'}:S'\to V/S$ é um isomorfismo.}
\noindent Todo complementar de $S$ é isomorfo a $V/S$; o quociente é ``o complementar que
não depende de escolha''. Em termos da figura da \vejacard{prop-oper}: cada transversal corta cada
paralela uma vez, e qualquer transversal serve para parametrizar as paralelas.
\begin{demonstracao}
É o \vejacard{thm-iso} aplicado à projeção $P:V\to S'$ ao longo de $S$ (\vejacard{prop-proj}), que tem
núcleo $S$ e imagem $S'$ --- ou, diretamente: $\pi(s') = 0\iff s'\in S\cap S' = \{0\}$, e
todo $v = s+s'$ tem $\pi(v) = \pi(s')$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}