\(V/S\) é um espaço vetorial; a projeção \(\pi\)
As operações \[(u+S)+(v+S) = (u+v)+S,\qquad \lambda(v+S) = \lambda v+S\] estão bem definidas e fazem de \(V/S\) um espaço vetorial, com vetor nulo \(0+S = S\). A projeção \(\pi:V\to V/S\), \(\pi(v) = v+S\), é linear, sobrejetora, e \(N(\pi) = S\).
\(\R^2\) módulo uma reta \(S\) (verde). As classes são as retas paralelas a \(S\); \(u\) e \(u'\) estão na mesma classe (azul), \(v\) e \(v'\) em outra (laranja). Um elemento de \(V/S\) é uma reta inteira, e não um ponto. A classe nula é a própria \(S\).
Na figura: somando \(u+v\) e \(u'+v'\), os dois pontos caem na mesma paralela. Isso é a boa definição. E que dimensão tem o conjunto das paralelas? Uma paralela fica determinada pelo ponto em que corta uma reta transversal fixa, logo \(V/S\) “parece” uma reta. A Proposição 5.42 confirma.
Demonstração
Boa definição: as fórmulas usam representantes, e é preciso ver que o resultado não depende deles. Se \(u+S = u'+S\) e \(v+S = v'+S\), então \[(u+v)-(u'+v') = (u-u')+(v-v')\in S,\qquad \lambda u-\lambda u' = \lambda(u-u')\in S,\] e o Lema 5.40 dá \((u+v)+S = (u'+v')+S\) e \(\lambda u+S = \lambda u'+S\).
Axiomas: por construção, \(\pi(u+v) = \pi(u)+\pi(v)\) e \(\pi(\lambda v) = \lambda\pi(v)\). Cada axioma em \(V/S\) é a imagem por \(\pi\) do mesmo axioma em \(V\); por exemplo, \(\lambda(\bar u+\bar v) = \pi(\lambda(u+v)) = \pi(\lambda u+\lambda v) = \lambda\bar u+\lambda\bar v\). O vetor nulo é \(\pi(0) = S\), e \(-\bar v = \overline{-v}\).
\(\pi\): é linear pelas duas igualdades acima; é sobrejetora por definição de \(V/S\); e \(\pi(v) = 0\iff v+S = S\iff v\in S\).
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\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{$V/S$ é um espaço vetorial; a projeção $\pi$}
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\cardrequer{def-quoc, def-nucimg}
\cardrequerdem{lem-equiv}
\cardveja{prop-dimq}
\begin{cartao}
\emph{As operações}
\[(u+S)+(v+S) = (u+v)+S,\qquad \lambda(v+S) = \lambda v+S\]
\emph{estão bem definidas e fazem de $V/S$ um espaço vetorial, com vetor nulo $0+S = S$. A
projeção $\pi:V\to V/S$, $\pi(v) = v+S$, é linear, sobrejetora, e $N(\pi) = S$.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
\clip (-2.3,-1.7) rectangle (4.3,2.7);
\foreach \cc in {-2,-1,1,2,3,4}{
\draw[Fcinza!50,line width=0.6pt] ({-3},{0.5*(-3)+0.9*\cc})--({5},{0.5*5+0.9*\cc});}
\draw[Fverde,line width=1.6pt] (-3,-1.5)--(5,2.5);
\draw[Fazul,line width=1pt] (-3,{0.5*(-3)+0.9})--(5,{0.5*5+0.9});
\draw[Flaranja,line width=1pt] (-3,{0.5*(-3)-0.9})--(5,{0.5*5-0.9});
\end{scope}
\begin{scope}
\clip (-2.3,-1.7) rectangle (4.3,2.7);
\draw[Fverde,line width=1.6pt] (-3,-1.5)--(5,2.5);
\end{scope}
\draw[eixo] (-2.3,0)--(4.5,0);
\draw[eixo] (0,-1.7)--(0,2.9);
\node[cxs,Fverde,anchor=south east,fill=white,inner sep=1pt] at (-1.3,-0.6) {$S = 0+S$};
\fill[Fazul] (0.4,1.1) circle (2pt);
\fill[Fazul] (2.4,2.1) circle (2pt);
\node[cxs,Fazul,anchor=east] at (0.35,1.2) {$u$};
\node[cxs,Fazul,anchor=south east] at (2.35,2.15) {$u'$};
\node[cxs,Fazul,anchor=south] at (3.6,2.72) {$u+S$};
\fill[Flaranja] (1.0,-0.4) circle (2pt);
\fill[Flaranja] (-1.2,-1.5) circle (2pt);
\node[cxs,Flaranja,anchor=north] at (1.0,-0.45) {$v$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=west] at (-1.15,-1.55) {$v'$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=west] at (4.35,1.25) {$v+S$};
\node[cx,anchor=west,align=left] at (5.4,0.6)
{$u\sim u'$: \ $u-u'\in S$\\[0.3em] $V/S$: \emph{o conjunto}\\ \emph{das retas paralelas a $S$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape $\R^2$ módulo uma reta $S$ (verde). As classes são as retas
paralelas a $S$; $u$ e $u'$ estão na mesma classe (azul), $v$ e $v'$ em outra (laranja). Um
elemento de $V/S$ é uma reta inteira, e não um ponto. A classe nula é a própria $S$.\par}
\noindent Na figura: somando $u+v$ e $u'+v'$, os dois pontos caem na mesma paralela. Isso
\emph{é} a boa definição. E que dimensão tem o conjunto das paralelas? Uma paralela fica
determinada pelo ponto em que corta uma reta transversal fixa, logo $V/S$ ``parece'' uma
reta. A \vejacard{prop-dimq} confirma.
\begin{demonstracao}
\emph{Boa definição:} as fórmulas usam representantes, e é preciso ver que o resultado não
depende deles. Se $u+S = u'+S$ e $v+S = v'+S$, então
\[(u+v)-(u'+v') = (u-u')+(v-v')\in S,\qquad \lambda u-\lambda u' = \lambda(u-u')\in S,\]
e o \vejacard{lem-equiv} dá $(u+v)+S = (u'+v')+S$ e $\lambda u+S = \lambda u'+S$.
\emph{Axiomas:} por construção, $\pi(u+v) = \pi(u)+\pi(v)$ e $\pi(\lambda v) = \lambda\pi(v)$.
Cada axioma em $V/S$ é a imagem por $\pi$ do mesmo axioma em $V$; por exemplo,
$\lambda(\bar u+\bar v) = \pi(\lambda(u+v)) = \pi(\lambda u+\lambda v) = \lambda\bar u+\lambda\bar v$.
O vetor nulo é $\pi(0) = S$, e $-\bar v = \overline{-v}$.
\emph{$\pi$:} é linear pelas duas igualdades acima; é sobrejetora por definição de $V/S$; e
$\pi(v) = 0\iff v+S = S\iff v\in S$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}