Determinante de Gram
Sejam \(v_1,\ldots,v_k\in V\) e \(\Gamma = (\langle v_i,v_j\rangle)_{i,j}\). Então \(\det\Gamma\geq0\), com igualdade se e somente se os \(v_i\) são LD.
Demonstração
Seja \(U = [v_1,\ldots,v_k]\), \(d = \dim U\), e tome uma base ortonormal de \(U\) (Corolário 6.18). Seja \(M\) a matriz \(d\times k\) cujas colunas são as coordenadas dos \(v_i\) nessa base. Pela Proposição 6.15, \(\Gamma = M^tM\). Se os \(v_i\) são LD, existe \(X\neq0\) com \(MX = 0\), logo \(\Gamma X = 0\) e \(\det\Gamma = 0\). Se são LI, então \(d = k\), \(M\) é quadrada e invertível, e \(\det\Gamma = \det(M^t)\det M = (\det M)^2>0\).
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\cardtitulo{Determinante de Gram}
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\cardrequer{def-pi, def-li, thm-formula-do-determinante}
\cardrequerdem{cor-existe, prop-coord, thm-mult, thm-determinante-da-transposta, thm-invertivel}
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\begin{cartao}
Sejam
$v_1,\ldots,v_k\in V$ e $\Gamma = (\langle v_i,v_j\rangle)_{i,j}$. Então $\det\Gamma\geq0$,
com igualdade se e somente se os $v_i$ são LD.
\begin{demonstracao}
Seja $U = [v_1,\ldots,v_k]$, $d = \dim U$, e tome uma base ortonormal de $U$ (\vejacard{cor-existe}).
Seja $M$ a matriz $d\times k$ cujas colunas são as coordenadas dos $v_i$ nessa base. Pela
\vejacard{prop-coord}, $\Gamma = M^tM$. Se os $v_i$ são LD, existe $X\neq0$
com $MX = 0$, logo $\Gamma X = 0$ e $\det\Gamma = 0$. Se são LI, então $d = k$, $M$ é quadrada
e invertível, e $\det\Gamma = \det(M^t)\det M = (\det M)^2>0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}